Quali parametri grafici NON sono concentrati su grafici casuali?

È noto che molti importanti parametri del grafico mostrano una concentrazione (forte) su grafici casuali, almeno in un intervallo della probabilità del bordo. Alcuni esempi tipici sono il numero cromatico, la cricca massima, il set massimo indipendente, la corrispondenza massima, il numero di dominio, il numero di copie di un sottografo fisso, il diametro, il grado massimo, il numero di scelta (numero di colorazione dell'elenco), il numero di Lovasz , la larghezza dell'albero , eccetera. $\theta$

Domanda: quali sono le eccezioni, cioè i parametri grafici significativi che non sono concentrati su grafici casuali?

Modificare. Una possibile definizione di concentrazione è questa:

Consenti a essere un parametro grafico su grafici casuali -vertex. Lo chiamiamo concentrato , se per ogni , contiene che La concentrazione è forte , se la probabilità si avvicina a 1 a un ritmo esponenziale. Ma a volte forte è usato in un senso diverso, riferendosi al fatto che la convergenza rimane vera con un intervallo di restringimento, producendo un intervallo forse molto stretto. Ad esempio, se è il grado minimo, quindi, per un intervallo di probabilità del bordo , si può provare $X_n$ $n$ $\epsilon>0$

lim_{n \to \infty} Pr ((1 - ϵ) E (X_{n}) \leq X_{n} \leq (1 + ϵ) E (X_{n})) = 1.

$\lim_{n\rightarrow\infty}\Pr\big((1-\epsilon)E(X_n)\leq X_n \leq (1+\epsilon)E(X_n)\big)=1.$

X_{n}

$X_n$

p

$p$

lim_{n \to \infty} Pr (⌊ E (X_{n}) ⌋ \leq X_{n} \leq ⌈ E (X_{n}) ⌉) = 1

$\lim_{n\rightarrow\infty}\Pr\big(\lfloor E(X_n)\rfloor\leq X_n \leq \lceil E(X_n)\rceil\big)=1$ che è l'intervallo più breve possibile (come il grado è intero, ma il valore previsto potrebbe non essere).

Nota: si possono costruire esenzioni artificiali dalla regola di concentrazione. Ad esempio, lascia , se il grafico ha un numero dispari di bordi e 0 altrimenti. Questo chiaramente non è concentrato, ma non lo considero un parametro significativo . $X_n=n$

graph-theory pr.probability random-graphs

— Andras Farago
fonte

Fornisci la definizione di forte concentrazione su grafici casuali.

— Mohammad Al-Turkistany,

Probabilmente la definizione è "probabilità molto alta (1-exp) che il parametro rientri nell'intervallo (piccolo) specifico".

— Suresh Venkat,

@ MohammadAl-Turkistany Ho modificato la domanda per includere una definizione.

— Andras Farago,

possibilmente semplici proprietà binarie come la connettività? o forse l'idea è di escludere le proprietà binarie? penso che questo potrebbe aver bisogno di una migliore analisi del modello grafico casuale. per i grafici erdos-renyi (non è quello che hai in mente?), la connettività stessa attraversa un fenomeno di soglia.

— vzn,

La concentrazione deve avvenire solo all'aspettativa? Penso che il numero di copie di un sottografo fisso

sia concentrato, ma non attorno alle aspettative a meno che

non sia bilanciato.

H

$H$

H

$H$

— Aravind,

Risposte:

Molti parametri del più grande componente collegato non sono concentrate per $G(n,p)$ se $p=1/n$ e più in generale se $p$ è nella finestra critica. Esempi sono il diametro e la dimensione del componente più grande, la dimensione del secondo componente più grande, il numero di foglie del componente, ecc.

Vedi ad es

Aldous, David. "Escursioni browniane, grafici casuali critici e coalescenza moltiplicativa." The Annals of Probability (1997): 812-854.

Nachmias, Asaf e Yuval Peres. "Grafici casuali critici: diametro e tempo di miscelazione." The Annals of Probability 36, n. 4 (2008): 1267-1286.

Addario-Berry, Louigi, Nicolas Broutin e Christina Goldschmidt. "Il limite continuo di grafici casuali critici." Teoria della probabilità e campi correlati 152, n. 3-4 (2012): 367-406.

— Yuval Peres
fonte

$\#\mathsf{P}$

$2^m$ $\pm \Theta(n)$ $2^{\Theta(n)}$ $(1+\epsilon)$

Per dimostrare che questo non è un esempio isolato, ecco un argomento (non del tutto rigoroso, ma forse in grado di essere reso rigoroso) sul perché l'incapacità di concentrazione dovrebbe essere vera anche per il numero di cicli hamiltoniani. Il valore atteso di questo numero è chiaramente $(n-1)!/2^{n+1}$ $(n-1)!/2$ $1/2^n$ $(n-2)!/2^{n-1}$ $\Theta(n)$

Altri candidati plausibili per l'incapacità di concentrazione includono il numero di colorazioni (partizioni dei vertici in set indipendenti), il numero di abbinamenti o abbinamenti perfetti o il numero di spanning tree.

— David Eppstein
fonte

n

$n$

Sarebbe anche interessante trovare proprietà naturali non concentrate anche nel modello G (n, m) di grafici casuali; quelli in questa risposta funzionano solo per G (n, p).

— David Eppstein,

Le risposte di "argomento di conteggio" di David sono sempre così perspicaci per me. : D

— Daniel Apon,