vs ?

Il problema centrale della teoria della complessità è probabilmente vs . $P$ $NP$

Tuttavia, poiché la natura è quantistica, sembrerebbe più naturale considerare le classi (ovvero i problemi di decisione risolvibili da un computer quantistico in tempo polinomiale, con una probabilità di errore al massimo di 1/3 per tutte le istanze) e (l'equivalente quantico di ) invece. $BQP$ $QMA$ $NP$

Le mie domande:

1) Una soluzione al problema vs darebbe una soluzione a vs ? $P$ $NP$ $BQP$ $QMA$

2) Le tre barriere di relativizzazione, prove naturali e algebrizzazione si applicano anche al problema vs ? $BQP$ $QMA$

cc.complexity-theory complexity-classes quantum-computing

— Anthony Leverrier
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1) Non si conoscono implicazioni in nessuna delle due direzioni. Sappiamo che P = NP implica P = PH. Ma non sappiamo se BQP e QMA sono in PH, quindi forse P potrebbe eguagliare NP ma BQP e QMA non crollerebbero ancora. (D'altra parte, nota che QMA⊆PP⊆P ^#P , quindi P = P ^#P implicherebbe BQP = QMA.) Mostrare che BQP = QMA implica P = NP sembra ancora più senza speranza nell'attuale stato di conoscenza .

2) Assolutamente, tutte e tre le barriere si applicano con piena forza a BQP vs. QMA (e persino al problema "più semplice" di dimostrare P ≠ PSPACE). Innanzitutto, rispetto a un oracolo PSPACE (o anche all'estensione di basso grado di un oracolo PSPACE), abbiamo

P = NP = BQP = QMA = PSPACE,

quindi, per separare una di queste classi, saranno certamente necessarie tecniche non relativizzanti e non algebrizzanti. In secondo luogo, per ottenere una barriera di prove naturali per mettere cose al di fuori di BQP, tutto ciò che serve è una famiglia di funzioni pseudocasuali calcolabile in BQP, che è un requisito formalmente più debole di una famiglia di funzioni pseudocasuali calcolabile in P.

Addendum: lasciami dire qualcosa su una "metaquestione" alla quale non hai chiesto ma accennato, del perché le persone si concentrano ancora su P vs. NP anche se crediamo che la natura sia quantistica. Personalmente, ho sempre visto P vs. NP come nient'altro che il "fiore all'occhiello" per un mucchio di domande barriera nella teoria della complessità (P vs. PSPACE, P vs. BQP, NP vs. coNP, NP vs. BQP, l'esistenza di funzioni a senso unico, ecc.), nessunadi cui sappiamo rispondere, e tutti i quali sono collegati nel senso che qualsiasi svolta con uno porterebbe molto probabilmente a scoperte con gli altri (anche dove non abbiamo implicazioni formali tra le domande, che in molti casi abbiamo fare). P vs. NP non è intrinsecamente più fondamentale di nessuno degli altri - ma se dobbiamo scegliere una domanda da servire come elemento secondario per la complessità, allora è una buona scelta.

— Scott Aaronson
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Ciao Scott, grazie mille per questa fantastica risposta! E il tuo addendum affronta esattamente ciò che avevo in mente.

— Anthony Leverrier,

Suppongo che l'importanza di P vs. NP, in quanto problema "di punta" della teoria della complessità, indichi qualcosa sulla storia della teoria del calcolo. Dopo i logici, sembra che siano stati i combinatoristi a perseguire l'argomento con maggior interesse. Forse se invece la teoria della complessità fosse stata sviluppata dai teorici dell'operatore, il problema principale per la "durezza" non sarebbe la soddisfazione booleana, la colorazione 3 o il problema del venditore ambulante, ma il problema di determinare se una somma di operatori semidefiniti positivi k-locali è definito positivo. (Che è k-QSAT, ovviamente.)

— Niel de Beaudrap il

Sì, immagino che fintanto che sono necessarie nuove tecniche per tali problemi (P vs NP, BQP vs QMA, ecc.), Non fa troppo male concentrarsi su un problema specifico.

— Anthony Leverrier,

Un commento secondario: se consideri il calcolo quantistico come la tua definizione di calcolo fattibile, probabilmente considereresti BQP vs NP come la domanda centrale, e non BQP vs QMA. Il motivo è che NP cattura ancora un'enorme frazione delle domande che vogliamo risolvere (o vogliamo rimanere difficili per la crittografia), indipendentemente dal fatto che proviamo a risolverle con un computer classico o quantistico.

— Boaz Barak,

@Boaz - Pensi che i problemi NP siano intrinsecamente più rilevanti dei problemi di QMA, o che per il momento sembra essere il caso perché siamo più abituati a pensare in termini di problemi classici rispetto a quelli quantistici?

— Anthony Leverrier,