Problemi NP quasi completi

Supponiamo che un linguaggio $L$ sia P -density-close se esiste un algoritmo temporale polinomiale che decide correttamente $L$ su quasi tutti gli input.

$A\in$ $L\Delta A$

lim_{n \to \infty} \frac{| (L Δ A) \cap {0, 1}^{n} |}{2^{n}} = 0.

$\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{|(L\Delta A) \cap \{0,1\}^n|}{2^n}=0.$

A

$A$

L

$L$

L

$L$

Si noti che non deve essere scarso. Ad esempio, se ha stringhe -bit, allora sta ancora svanendo (a una velocità esponenziale), poiché . $L\Delta A$ $2^{n/2}$ $n$ $2^{n/2}/2^n=2^{-n/2}$

Non è difficile costruire (artificialmente) problemi NP completi di densità P , secondo la definizione sopra. Ad esempio, sia un qualsiasi linguaggio completo NP e definire . Quindi mantiene la completezza NP , ma ha al massimo -bit yes-istanze. Pertanto, l'algoritmo banale che risponde "no" a ogni input, deciderà correttamente su quasi tutti gli input; errerà solo su una frazione di input -bit. $L$ $L^2=\{xx\,|\, x\in L\}$ $L^2$ $2^{n/2}$ $n$ $L^2$ $\leq 1-2^{-n/2}$ $n$

D'altra parte, sarebbe molto sorprendente se tutti NP problemi -Complete sono P densità da vicino. Significherebbe che, in un certo senso, tutti i problemi completi di NP sono quasi facili. Questo motiva la domanda:

Supponendo P NP , quali sono alcuni problemi naturali NP- completi che non sono vicini alla densità P ? $\neq$

— Andras Farago
fonte

Dal momento che Heuristica non è escluso, non c'è nemmeno un problema non-necessariamente-naturale per il quale P ≠ NP è noto per implicare che il problema non è quasi in P.

Credo che i problemi post-corrispondenza siano un buon problema candidato. È difficile anche per casi uniformemente casuali e quindi è difficile nel caso medio.

— Mohammad Al-Turkistany,

FYI: La tua scelta di nomenclatura, sebbene naturale, è in conflitto con alcune nomenclature esistenti: la classe Almost-P è composta da quelle lingue L tali che ha la misura 1. Potresti anche essere interessato a sappi che la versione ridotta della tua definizione è già stata utilizzata e ha connessioni a molte altre idee, vedi P-close . Dato il defn di P-close, forse un buon nome per il tuo concetto è P-densità-vicino, o P-abbastanza vicino :).

{A : L \in P^{A}}

$\{A : L \in P^A\}$

— Joshua Grochow,

D'altra parte, il problema decisionale " Colorazione del grafico " è presumibilmente un candidato per tale problema.

$\;$

Non sono convinto che questa sia la definizione giusta. Se la densità di scompare, allora è "quasi facile" tramite qualsiasi linguaggio banale , non importa quanto sia difficile. Tuttavia è difficile esibire linguaggi naturali duri sopra l'alfabeto con una densità che non svanisce, semplicemente a causa della codifica. L'intersezione non dovrebbe avere dimensioni input validi (quindi questo è un problema promettente), piuttosto che tutte le stringhe? Altrimenti, ciò richiede principalmente di rispondere alla domanda: esiste una codifica booleana di un linguaggio NP-duro con densità che non svanisce?

L

$L$

A

$A$

{0, 1}

$\{0,1\}$

n

$n$

— András Salamon,

Ho esaminato se esiste un'ipotesi generalmente accettata nella teoria della complessità, il che implica che deve esistere un linguaggio completo NP che non può essere accettato in tempo polinomiale su quasi tutti gli input (come definito nella domanda).

È interessante notare che le ipotesi più "standard" non sembrano implicarlo. Cioè, non sembra seguire (a meno che non abbia trascurato qualcosa) da P NP , P BPP , NP coNP , E NE , EXP NEXP , NP PSPACE , NP EXP , NP P / poly, PH non collassa, ecc. $\neq$ $=$ $\neq$ $\neq$ $\neq$ $\neq$ $\neq$ $\not\subseteq$

D'altra parte, ho trovato un'ipotesi, leggermente meno standard, che implica l'esistenza del problema completo NP ricercato , anche se non naturale. Nella teoria della misura limitata dalle risorse l'ipotesi fondamentale è che NP non ha zero, indicato da NP . Informalmente, ciò significa che le lingue NP all'interno di E non formano un sottoinsieme trascurabile. Per i dettagli, vedere un sondaggio qui . In questa teoria dimostrano, tra le altre cose, che NP implica l'esistenza di un linguaggio -bi-immune in $p$ $\mu_p($ $)\neq 0$ $\mu_p($ $)\neq 0$ PNP . Un linguaggio è P -BI-immune se né né il suo complemento ha un sottoinsieme infinito in P . Tale linguaggio soddisfa le nostre esigenze in modo forte. $L$ $L$

Tuttavia, non è ancora chiaro se esiste un esempio che rappresenti un problema naturale .

— Andras Farago
fonte

La bi-immunità è anche molto più forte della tua condizione ed è collegata all'uso più comune di "quasi tutti" nella teoria della complessità strutturale, vale a dire "per tutti, ma finitamente molti" ...

— Joshua Grochow,

@JoshuaGrochow Sono d'accordo, ma sembra che, in un certo senso, la P-bi-immunità significhi un'intrattabilità troppo forte . Non sembra verificarsi tra i problemi naturali NP-completi. Mi sorprende che apparentemente non vi siano risultati che forniscano le condizioni semplicemente per l'esistenza di un linguaggio intrattabile NP NP "debolmente quasi ovunque". Con "debolmente quasi dappertutto" intendo che la condizione "tutto tranne che finitamente molti" è sostituita da "tutti tranne che sparire". Ciò potrebbe riguardare meglio ciò che si incontra realmente nella pratica.

— Andras Farago,

NP è noto per essere misurabile in p?

@RickyDemer Per quanto ne so, non è noto se NP sia p-misurabile.

— Andras Farago,