Congettura: tutti i linguaggi completi di NP FPT sono isomorfi a parametro fisso

Congettura di Berman-Hartmanis: tutte le lingue complete di NP si assomigliano, nel senso che possono essere correlate tra loro da isomorfismi del tempo polinomiale [1].

Sono interessato a una versione più dettagliata del "tempo polinomiale", ovvero se utilizziamo riduzioni parametrizzate.

Un problema con parametri è un sottoinsieme di , dove Σ è un alfabeto finito e Z \ geq 0 è l'insieme di numeri non negativi. Un'istanza di un problema con parametri è quindi una coppia (I, k) , dove k è il parametro.$Σ^∗ × Z \geq 0$ Z ≥ 0 ( I , k $Σ$$Z\geq 0$$(I, k)$$k$

Un problema con parametri $π_1$ è un parametro fisso riducibile a un problema con parametri $π_2$ se esistono funzioni $f$ , $g$ : $Z≥0 → Z≥0$ , $Φ : Σ∗ × Z≥0 → Σ^∗$ e un polinomio $p(·)$ tale che per ogni istanza $(I, k)$ di $π_1$ , $(Φ(I, k), g(k))$ è un'istanza di $π_2$ calcolabile nel tempo $f(k) · p(|I|)$ e $(I, k) ∈ π_1$ if e only if $(Φ(I, k), g(k)) ∈ π_2$ . Due problemi con parametri sono equivalenti a parametri fissi se sono parametrici fissi e riducibili l'uno all'altro.

Alcuni problemi NP-completi sono FPT, ad esempio, la versione della decisione del problema di copertura dei vertici è NP-Complete, ha un algoritmo $O(1.2738^k + kn)$ [2]. Trovare migliori riduzioni dei parametri fissi di un problema FPT che è NP-Complete può portare a un algoritmo migliore, ad esempio, invocando una riduzione a una "versione sopra la garanzia" del problema del taglio multiplo può portare a un algoritmo nel tempo $O^*(4^k)$ per il problema AGVC (Above Guarantee Vertex Cover) [3], che è migliore dell'algoritmo $O^*(15^k)$ [4].

$\textbf{My Conjecture: All FPT NP-complete languages are fixed-parameter-isomorphic.}$

È vera questa congettura?

[1] Berman, L .; Hartmanis, J. (1977), "Su isomorfismi e densità di NP e altri insiemi completi", SIAM Journal on Computing 6 (2): 305–322.

[2] J. Chen, IA Kanj e G. Xia, Miglioramento dei limiti superiori per la copertura dei vertici, Theor.Comput. Sci., 411 (2010), pagg. 3736-3756.

[3] M. Cygan, M. Pilipczuk, M. Pilipczuk e JO Wojtaszczyk, sul taglio multidirezionale parametrizzato sopra i limiti inferiori, in IPEC, 2011.

[4] M. Mahajan e V. Raman, Parametrizzazione sopra i valori garantiti: Maxsat e maxcut, J. Algorithms, 31 (1999), pp. 335-354.

Serge Gaspers ha già detto perché la tua congettura è banalmente vera.
Tuttavia, si può effettivamente ottenere isomorfismi a parametri fissi a tempo polinomiale ,
che ora realizzo non è molto meno banale, poiché si applica a ogni
coppia ordinata di problemi FPT non banali con una riduzione nel senso ordinario.

Lasciate essere un numero intero che è maggiore del grado dell'algoritmo FPT per , e lasciare e essere un sì e no esempio rispettivamente . Quanto segue sarà una riduzione dei parametri fissi a tempo polinomiale da a :π 1 Y N π 2 π 1 π $c$$\pi_1$
$Y$$N$$\pi_2$
$\pi_1$$\pi_2$

Prova l'algoritmo FPT su per un massimo di passaggi. Se questo dà una risposta, quindi emettere o come indicato da quella risposta. In caso contrario, genera il risultato dell'applicazione di una normale riduzione del tempo polinomiale da a . La correttezza e il runtime polinomiale sono evidenti. Poiché è maggiore del grado dell'algoritmo FPT per , è il caso che per ogni fisso , ci siano solo finitamente molte lunghezze di input per le quali il tempo di esecuzione massimo dell'algoritmo FPT non è inferiore a$\pi_1$ YN π 1 π $n^{\hspace{.02 in}c}$
$Y$$N$
$\pi_1$$\pi_2$


$\:$π 1 k n $c$$\pi_1$$k$$n$$n^{\hspace{.02 in}c}$ . Pertanto, per ogni fisso , la riduzione di cui sopra ha solo molti risultati. Pertanto soddisfa le condizioni dei parametri fissi.$\:$$k$$\:$