Decomposizione dell'albero per grafici planari

In primo luogo chiesto su math.SE senza risposte.

1. Supponiamo di avere un grafico planare, con un'incorporazione planare, come trovo la decomposizione dell'albero?
2. Qual è la decomposizione ottimale dell'albero di una griglia quadrata -by- d ? Non sono del tutto sicuro di come definire "ottimale", ma dovrebbe distinguere tra decomposizione con un sacchetto grande e decomposizione con molti sacchetti di grandi dimensioni.$d$$d$

Se quello che vuoi davvero è un buon ordine di eliminazione, potresti cercare una dissezione nidificata generalizzata . Questa è la strategia che sfrutta i buoni separatori di un grafico planare per fornire algoritmi per l'eliminazione gaussiana, determinante, ecc. Per matrici provenienti da grafici planari.$O(n^{\omega/2})$

Per la prima domanda, è aperto se la ricerca di una decomposizione dell'albero per i grafici planari possa essere effettuata in tempo polinomiale. L'algoritmo di approssimazione migliore può essere l' algoritmo RatCatcher di Seymour e Thomas, che calcola la larghezza della diramazione del grafico planare, quindi ha un rapporto di approssimazione di 1,5 dalla relazione tra la larghezza della ramificazione e la larghezza dell'albero.

$k \times k$

$k \times k$$k$

$k+1$$k(k-1)$

Se non si desidera una decomposizione ottimale dell'albero, è possibile creare una decomposizione dell'albero calcolando ricorsivamente i separatori.