Teorema del PCP - Fase di riduzione dell'alfabeto

Ciò che segue potrebbe sembrare stupido (e ciò probabilmente riflette la mia scarsa comprensione - quindi per favore abbi pazienza con me)

Ho avuto una domanda sul teorema di PCP. Sappiamo che dopo i primi tre passaggi vale a dire. Riduzione del grado, espansione e amplificazione del divario, abbiamo un grafico dei vincoli con gap migliorato e dimensioni dell'alfabeto enormi (come Σ d t ). È questo problema che il passaggio di riduzione dell'alfabeto risolve.$G$$\Sigma^{d^t}$

La mia domanda è che, come indicato nelle note della lezione di Venkat Guruswami, Introduzione alla composizione , mi sembra che l'idea di alto livello sia quella di esprimere il vincolo su un limite e come un vincolo booleano sulle variabili booleane. Questo da solo non ottiene nulla e dobbiamo anche applicare la riduzione PCP, P e , su questo limite. Questa "sembra" un'invocazione ricorsiva di PCP ed è qui che inizio a preoccuparmi un po '. Sembra che questa invocazione ricorsiva farà saltare di nuovo le dimensioni dell'alfabeto.$c_e$$e$$P_e$

Gli autori hanno offerto alcune spiegazioni osservando che questa ricorsione ha un "caso base" - vale a dire - la riduzione "interna" del PCP si applica solo a vincoli di dimensioni costanti.

(Con ciò capisco che la ricorsione interiore viene invocata solo quando stiamo osservando i vincoli su un singolo bordo che è un vincolo binario, ma non ho ancora superato la paura che in qualche modo potremmo ancora far saltare le dimensioni dell'alfabeto invece di ridurlo). Per me, sembra ancora che una ripetizione ricorsiva del passaggio dell'amplificazione del divario peggiorerà le cose solo facendo esplodere la dimensione dell'alfabeto a meno che non incorporiamo misure per gestire il caso di base in modo leggermente diverso.$c_e$

Spero che la mia domanda (per quanto stupida) sia probabilmente chiara. Per favore fatemi sapere quale parte essenziale mi manca (o ho frainteso).

Stai chiedendo della prova di Dinur del teorema del PCP. La fase di riduzione dell'alfabeto utilizza un PCP, ma il PCP ha parametri molto diversi da quello che costruisci e non devi necessariamente usare la ricorsione per costruirlo. In particolare, secondo la prova di Dinur, poiché questo PCP interno per la riduzione dell'alfabeto viene applicato su input di dimensioni costanti, non ci importa se ha un enorme scoppio (diciamo esponenziale o anche più di quello), il che rende relativamente facile dare un costruzione diretta di un PCP abbastanza buono.

L'intera dimostrazione inclusa questa fase è descritta in diversi punti (vedi la risposta a questa domanda ), quindi potresti trovare una descrizione diversa che ti piace di più. In particolare, nel mio libro di testo sulla complessità con Sanjeev Arora questo è trattato nei Capitoli 11 e 22, vi offriamo due modi alternativi per ottenere il passo di riduzione dell'alfabeto. Uno sta usando PCP basato su Hadamard nel testo principale. Ma forse la variante autonoma più semplice è la costruzione elaborata nell'esercizio 22.5. Abbiamo anche una tabella, nella Sezione 22.2.1, che mostra esattamente quale passo della dimostrazione fa la dimensione dell'alfabeto (e altri parametri come l'errore di solidità, la dimensione e il numero di query) e che possono alleviare la tua preoccupazione.