Maggiori informazioni su PH in PP?

Una recente domanda di Huck Bennett che chiedeva se la classe PH fosse contenuta nella classe PP, ha ricevuto risposte alquanto contraddittorie (tutto vero, a quanto pare). Da un lato, diversi risultati dell'oracolo sono stati dati al contrario, e dall'altro Scott ha suggerito che la risposta è probabilmente positiva poiché il teorema di Toda mostra che PH è in BP.PP, la variante probabilistica di PP, e di solito crediamo che la randomizzazione lo faccia non aiuta molto, ad es. ipotesi di durezza ragionevole implicano PRG che possono sostituire la randomizzazione.

Ora, nel caso del PP non è chiaro che anche un PRG "perfetto" implicherà una derandomizzazione completa poiché la derandomizzazione naturale eseguirà l'algoritmo originale con l'output del PRG per tutti i semi polinomialmente-molti possibili e otterrebbe un voto a maggioranza . Non è chiaro che prendere il voto di maggioranza tra i calcoli del PP sia qualcosa che può essere fatto nel PP stesso. Tuttavia, un articolo di Fortnow e Reingold mostra che il PP è chiuso sotto riduzioni della tabella della verità (estendendo il sorprendente risultato che il PP è chiuso sotto l'intersezione), il che sembra essere sufficiente per aver votato a maggioranza.

Quindi qual è la domanda qui? Toda, Fortnow-Reingold e tutte le derandomizzazioni basate su PRG, sembrano tutte relativizzate, quindi implicherebbe che PH in PP per ogni oracolo per il quale esistono PRG appropriati. Quindi, per tutti gli oracoli in cui PP non contiene PH (ad esempio da Minski & Papert, da Beigel o da Vereshchagin ), i PRG per PP non esistono. In particolare questo implica che per questi oracoli non ci sono funzioni appropriatamente difficili in EXP (altrimenti esisterebbero PRG simili a NW-IW). Guardando al lato positivo, ciò implicherebbe che da qualche parte all'interno di ciascuno di questi risultati dell'oracolo si nasconde un algoritmo PP (non uniforme) per EXP (approssimativo) con quell'oracolo. Questo è strano poiché tutti questi risultati dell'oracolo sembrano basarsi su nuovi limiti inferiori in PP(per i circuiti di soglia) e sono diretti nei loro macchinari per la costruzione di oracoli, quindi non vedo dove si nasconda un limite superiore per i PP. Forse questo limite superiore avrebbe funzionato in generale, dimostrando che (non uniforme) -PP può calcolare (o almeno dare un certo pregiudizio) a tutti gli EXP? Qualcosa del genere non darebbe almeno una simulazione CH di EXP?

Quindi, suppongo che la mia domanda sia duplice: (1) ha senso questa catena di ragionamento? (2) In tal caso, allora qualcuno può "scoprire" i limiti superiori impliciti per PP?

Modifica di Aaron Sterling: sbattere questo sulla prima pagina e aggiungere una taglia. Questa è stata una delle mie domande preferite e non ha ancora risposte.

— Noam
fonte

Infatti, inizia con una funzione booleana

in AC0 che non può essere calcolata da un gate di soglia di livello polilogo (N). Per ogni oracolo

definiamo la lingua

(dove

è il

bit della

'th fetta di

). Poiché

f : {0, 1}^{N} \to {0, 1}

$f:\{0,1\}^N \rightarrow \{ 0,1\}$

A

$A$

L_{A} = {1^{n} | f (A_{n}) = 1}

$L_A= \{1^n | f(A_n)=1\}$

A_{n}

$A_n$

2^{n}

$2^n$

n

$n$

A

$A$

, per tutti

. Il

'th passo diagonalizzazione sceglierà

(per qualche

) tale che la

' th PP TM commette un errore su

, che si verifica poiché

non è una soglia di polilogo (N) (come è il calcolo di una macchina PP). Quindi

. Ma forse

f \in A C 0

$f \in AC0$

L_{A} \in P H^{A}

$L_A \in PH^A$

A

$A$

t

$t$

A_{n}

$A_n$

n

$n$

t

$t$

1^{n} \in L_{A} ?

$1^n \in L_A?$

f

$f$

L_{A} \notin P P^{A}

$L_A \not\in PP^A$

...

L_{A} \in P P^{A} | p o l y

$L_A \in PP^A|poly$

— Noam

Quindi, per ottenere anche

ci sarebbe bisogno di imballare molti casi di

in una sola lunghezza

. Ciò sembra facilmente realizzabile definendo

, dove per una stringa

-bit

indica le

-bit che descrivono se

per tutti

L_{A} \notin P P^{A} / p o l y

$L_A \not\in PP^A/poly$

f

$f$

n

$n$

L_{A} = {x | f (A_{x}) = 1}

$L_A = \{ x | f(A_x)=1\}$

n

$n$

x

$x$

A_{x}

$A_x$

2^{n}

$2^n$

x y \in A

$xy \in A$

possibili

di lunghezza

. Ma avremmo bisogno di migliorare il limite inferiore per

per richiedere che

copie di

sustringhe

-bitdiversenon possano essere calcolate dalle porte di soglia di livello polilogo (N), anche con bit di aiuto polilogo (N). Quindi questo dovrebbe essere falso per qualsiasi

. Un limite superiore interessante sembra.

2^{n}

$2^n$

y

$y$

n

$n$

f

$f$

N

$N$

f

$f$

N

$N$

f \in A C 0

$f \in AC0$

— Noam,

Vieni a pensarci, l'osservazione che sotto ogni oracolo che produce PH / ⊆ PP non ci sono PRG efficienti che ingannano gli algoritmi BP.PP non dovrebbero essere più sorprendenti del fatto che sotto ogni oracolo che rende BPP / ⊆ P ci sono nessun PRG efficiente che imbroglia gli algoritmi BPP. Questo perché ogni oracolo che produce PH / ⊆ PP produce anche BP.PP / ⊆ PP dal teorema di Toda (relativizzato). Ma forse mi manca il punto. -

— slimton

P^{A} \neq B P P^{A}

$P^A \ne BPP^A$

B P P^{A}

$BPP^A$

P^{A} / p o l y

$P^A/poly$

P H^{A} ⊈ P P^{A}

$PH^A \not\subseteq PP^A$

P^{A}

$P^A$

P P^{A}

$PP^A$

— Noam,

Come ho osservato sopra: nelle costruzioni per il punto cruciale della costruzione sta dando potere "non naturale" a BPP (e quindi anche a P / poli), ad esempio piantando molti testimoni per l'oracolo duro in luoghi dove solo la randomizzazione può trovarli. Quindi, mentre è davvero interessante che questa potenza sia sufficiente per problemi "generali", almeno la potenza inaspettata di P / poly è chiara. D'altra parte, non riesco a vedere da nessuna parte che l'oracolo per la separazione di PH da PP dà potere non naturale a P / poli o qualsiasi altra classe, in effetti. Non sono sicuro che questa differenza sia "reale" però.

P \neq B P P

$P \ne BPP$

— Noam,

Per opera di Klivans e van Melkebeek (che si relativizza), se E = DTIME ( ) non ha circuiti con porte in PP di dimensioni PH è in PP. Il contrappunto afferma che se PH non è in PP, allora E ha circuiti di dimensioni subesponenziali con porte in PP. Ciò è coerente con il fatto che una prova dell'oracolo di PH non in PP fornisce un limite inferiore relativizzato per PP. Nessun motivo per pensare che implichi alcun limite superiore per PP, o qualsiasi forza per circuiti senza porte in PP. $2^{O(n)}$ $2^{o(n)}$

— Lance Fortnow
fonte

Corretta. Fisso.

— Lance Fortnow,