Proprietà Church-Rosser per il calcolo lambda tipicamente dipendente?

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È noto che la proprietà Church-Rosser vale per la riduzione nel calcolo lambda tipizzato in modo semplice. Ciò implica che il calcolo è coerente, nel senso che non tutte le equazioni che coinvolgono gli sono derivabili: ad esempio, K I , poiché non condividono la stessa forma normale. $\beta \eta$ $\lambda$ $\neq$

È anche noto che si può estendere il risultato a coppie che corrispondono ai tipi di prodotto.

Ma mi chiedo se si possa estendere ulteriormente il risultato per il calcolo lambda tipicamente dipendente (forse) con tipi polimorfici, ad esempio il Calcolo delle costruzioni?

Qualsiasi riferimento sarebbe anche fantastico!

Grazie

type-theory lambda-calculus dependent-type

— StudentType
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Potrebbe essere utile fornire rapidamente il contro-esempio a CR in calcoli tipizzati con e : $\beta$ $\eta$

t = λ x : A . (λ y : B . y) x

$t=\lambda x:A.(\lambda y:B.\ y)\ x$

t \to_{β} λ x : A . x

$t\rightarrow_\beta \lambda x: A.x$

t \to_{η} λ y : B . y

$t\rightarrow_\eta \lambda y:B.y$

$A\equiv B$ $\alpha$ termini non tipizzati .

$A$ $B$ $t$

Per i sistemi tipicamente dipendenti, la confluenza deve essere dimostrata prima della conservazione del tipo!

$\Pi$

Π x : A . B =_{β η} Π x : A^{'} . B^{'} \Leftrightarrow A =_{β η} A^{'} \land B =_{β η} B^{'}

$\Pi x:A.B=_{\beta\eta}\Pi x:A'.B'\ \Leftrightarrow\ A=_{\beta\eta}A'\wedge B=_{\beta\eta} B'$ al fine di provare l'inversione, necessaria per dimostrare la conservazione / riduzione del soggetto.

$\beta\eta$

$\eta$ $\eta$ $t\rightarrow_{\eta*}\lambda x:A.t\ x$

$\lambda$ .

Un approccio diverso, e recentemente piuttosto popolare, è descritto da Abel, Untyped Algorithmic Equality per il Logical Framework di Martin-Löf con coppie sospettose .

— cody
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$\lambda$

I PTS con una sola riduzione β soddisfano il CR in termini tipizzati. Ciò segue immediatamente dalla CR sugli "pseudotermi", insieme alla riduzione del soggetto.
Per PTS con β-riduzione, CR sul set di pseudotermi è falso. Vedi (2).
In PTS con riduzione βη CR vale per termini ben tipizzati di tipo fisso . Vedi (1).

I PTS sono formalismi molto generali e includono il Sistema F, Fω, LF e il calcolo delle costruzioni. Gli ultimi due sono scritti in modo dipendente. Entrambi (1, 2) sono documenti piuttosto vecchi, e immagino che ne sia noto di più nel 2015.

^$\lambda$

^{2. RP Nederpelt, forte normalizzazione in un calcolo lambda tipizzato con tipi strutturati lambda .}

— Martin Berger
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