Divisione per due funzioni in #P

Sia una funzione a valore intero tale che sia in . Ne consegue che è in ? Ci sono ragioni per ritenere improbabile che ciò avvenga sempre? Qualche riferimento che dovrei sapere? $F$ $2F$ $\#P$ $F$ $\#P$

Un po 'sorprendentemente, questa situazione si presentò (con una costante molto più grande), per una funzione per cui è un vecchio problema aperto. $F$ $F \in? \#P$

Nota: sono a conoscenza del documento M. Ogiwara, L. Hemachandra, Una teoria della complessità per le proprietà di chiusura fattibili in cui è stato studiato un problema relativo alla divisione per 2 (vedere Thm 3.13). Tuttavia, il loro problema è diverso, poiché definiscono la divisione per tutte le funzioni tramite l'operatore del pavimento. Ciò ha permesso loro di apportare alcune rapide riduzioni ai problemi di parità.

cc.complexity-theory complexity-classes counting-complexity

— Igor Pak
fonte

@Kaveh: se è una funzione e una funzione poli-tempo, allora è in , ma non necessariamente (presumibilmente). Ad esempio, non sembra esserci alcun motivo per cui tutte le funzioni GapP non negative dovrebbero essere in , ma sono riducibili a in questo modo.

f (x)

$f(x)$

# P

$\#P$

g (y)

$g(y)$

f (g (y))

$f(g(y))$

# P

$\#P$

g (f (x))

$g(f(x))$

# P

$\#P$

# P

$\#P$

— Emil Jeřábek supporta Monica il

@JoshuaGrochow: Sì, è "Accetta se e solo se hai indovinato entrambi i testimoni 2F in ordine lessicografico".

@JoshuaGrochow Se si esegue la divisione con NO funzione di piano, collassa alla seguente classe di complessità, che ho appena definito, tramite il Teorema 5.9 sul libro TCTC. esiste un predicato polinomiale P e un polinomio q tali che, per tutti , Quindi è necessario mostrare dove appartiene alla gerarchia della complessità. Si spera che

P P

${\bf PP}$

U P P X = {L |

${\bf UPPX} = \{ L |$

x

$x$

1.

$\bf 1.$

x \notin L \Rightarrow | | {y |

$x \not \in L \Rightarrow ||\{y|$

| y | \leq q (| x |) \land P (x, y)} | | < 1

$|y|\leq q(|x|) \wedge P(x,y)\}|| < 1$

2.

$\bf 2.$

x \in L \Rightarrow | | {y |

$x \in L \Rightarrow ||\{y|$

| y | \leq q (| x |) \land P (x, y)} | | \geq 1

$|y|\leq q(|x|) \wedge P(x,y)\}|| \geq 1$

}

$\}$

U P P X

${\bf UPPX}$

U P P X = P P

${\bf UPPX} = {\bf PP}$

— Tayfun Pay

Quanto è difficile dire se una funzione in #PP è sempre pari? Mi aspetto che sia indecidibile.

— Peter Shor,

@PeterShor: Questo è certamente indecidibile. Si può prendere una macchina che accetta se e solo se il testimone del conteggio ha tutti 1 e la stessa lunghezza dell'input e M si ferma esattamente in [quella lunghezza] passi.

Cerco di dare la mia intuizione sul perché ritengo improbabile che ciò accada. Prendi il tuo problema preferito in e convertilo in un problema in , ad esempio, la nostra funzione può essere il numero di cicli hamiltoniani in un grafico a 3 intervalli di input contenente un certo fronte fisso. Dalla tesi di parità sappiamo che è sempre, anche, in modo da poter definire e non vedo alcuna ragione per cui sarebbe in . $PPA$ $\sharp P$ $f$ $f$ $F:=f/2$ $F$ $\sharp P$

— domotorp
fonte

Va bene. Ora sono confuso. non ha tre cicli hamiltoniani?

K_{4}

$K_4$

— Peter Shor,

Va bene ... ho controllato. Il teorema è che ogni bordo appare in un numero pari di (orientato) cicli hamiltoniani in un grafico di 3-regolare, non che ci sono un numero pari di cicli Hamiltoniani totale. Quindi il giusto problema di conteggio è: dato un grafico a tre regolari e un bordo , sia il numero di cicli Hamiltoniani in che attraversano . È in #P?

e

$e$

f

$f$

G

$G$

e

$e$

F / 2

$F/2$

— Peter Shor,

Anzi, divertente che nessuno ha notato prima ... L'ho aggiunto.

— domotorp,

Anche se in generale sono d'accordo con la tua intuizione, in questo caso, penso che potrebbe effettivamente essere in #P: Sia e = (v_1, v_2) il vantaggio in G. Sia u, w i vicini di v_1 che non sono ' t v_2. La seguente macchina NP ha percorsi di accettazione f / 2: indovina un ciclo Hamilton che include la coppia di spigoli (u, v_1) e (v_1, v_2). (Il punto è che la prova della parità pari crea una biiezione tra tali cicli Ham. E quelli che includono (w, v_1) e (v_1, v_2). Quindi, affinché l'intuizione funzioni, è necessario qualcosa in PPA che vada per es. un argomento di conteggio, o che evita una facile biiezione ...

f / 2

$f/2$

— Joshua Grochow,

Il fatto non è vero. Ad esempio, è facile verificare che non abbia esito positivo per tutti i grafici 3-regolari collegati su 8 vertici (vedere en.wikipedia.org/wiki/Table_of_simple_cubic_graphs#8_nodes per un elenco), ad eccezione del cubo (che è edge-transitive) .

— Emil Jeřábek sostiene Monica il