Partizionare un rettangolo senza danneggiare i rettangoli interni

$C$ è un rettangolo parallelo all'asse.

$C_1,\dots,C_n$ sono rettangoli coppia-interni-disgiunti assi-paralleli tali che , in questo modo:$C_1\cup\dots\cup C_n \subsetneq C$

Una partizione C di conservazione del rettangolo$C$ è una partizione $C = E_1\cup\dots\cup E_N$ , tale che $N\geq n$ , $E_i$ sono rettangoli asse-paralleli interni-disgiunti-coppia e per ogni $i=1,\dots,n$ : $C_i \subseteq E_i$ , ovvero ogni rettangolo esistente è contenuto in un nuovo rettangolo univoco, in questo modo:

Che cos'è un algoritmo per trovare una partizione che preserva il rettangolo con una piccola ?$N$

In particolare, esiste un algoritmo per trovare una partizione che preserva il rettangolo con parti ?$N=O(n)$

NUOVA RISPOSTA: il seguente semplice algoritmo è asintoticamente ottimale:

Allunga ciascuno dei rettangoli arbitrario, nella misura massima possibile in modo tale che i rettangoli rimangano accoppiati a coppie.$C_i$

Il numero di buche è al massimo . Questo è asintoticamente ottimale, poiché esistono configurazioni in cui il numero di fori è almeno .$k-2$$k-O(\sqrt k)$

Le prove sono in questo documento .

VECCHIA RISPOSTA:

Il seguente algoritmo, sebbene non ottimale, è apparentemente sufficiente per trovare una partizione che preservi il rettangolo con parti .$N=O(n)$

L'algoritmo funziona con un poligono rettilinea , che viene inizializzata al rettangolo .$P$$C$

Fase 1: Scegli un rettangolo che è adiacente a un confine occidentale di (cioè, non c'è nessun altro rettangolo tra il lato occidentale di e un confine occidentale di ). Luogo all'interno di e si estendono fino a toccare il confine occidentale del . Sia (per ) la versione allungata di . Sia . Ripeti la Fase 1 volte fino a quando tutto$C_i$$P$$C_j$$C_i$$P$$C_i$$P$$P$$E_i$$i=1,\dots,n$$C_i$$P=P\setminus E_i$$n$$n$i rettangoli originali vengono posizionati e allungati. Nell'immagine seguente, un possibile ordine di posizionamento dei rettangoli è :$C_1,C_2,C_4,C_3$

Ora, è un poligono rettilineo (possibilmente disconnesso), in questo modo:$P$

Sostengo che il numero di vertici concavi in sia al massimo . Questo perché, ogni volta che un rettangolo allungato viene rimosso da , ci sono 3 possibilità:$P$$2n$$P$

• Vengono aggiunti 2 nuovi vertici concavi (come quando si posizionano );$C_1,C_4$
• Vengono aggiunti 3 nuovi vertici concavi e 1 viene rimosso (come con );$C_3$
• Vengono aggiunti 4 nuovi vertici concavi e 2 rimossi (come con ).$C_2$

Fase 2: partizione in rettangoli asse-parallelo usando un algoritmo esistente (vedere Keil 2000, pagine 10-13 e Eppstein 2009, pagine 3-5 per una revisione).$P$

Keil cita un teorema che dice che il numero di rettangoli in una partizione minima è limitato da 1 + il numero di vertici concavi. Pertanto, nel nostro caso il numero è al massimo e il numero totale di rettangoli nella partizione è .$2n+1$$N\leq 3n+1$

Questo algoritmo non è ottimale. Ad esempio, nell'esempio precedente fornisce mentre la soluzione ottimale ha . Quindi rimangono due domande:$N=13$$N=5$

A. Questo algoritmo è corretto?

B. Esiste un algoritmo a tempo polinomiale per trovare la ottimale , o almeno una migliore approssimazione?$N$