Problemi che sono decidibili ma non possono essere verificati in tempo polinomiale

Mentre stavo lavorando a un progetto in qualche modo non correlato per Suresh, di recente mi sono imbattuto in un lavoro svolto da Page e Opper sui sistemi componibili dall'utente e una parte del loro lavoro ha discusso brevemente di problemi che non possono essere verificati in tempo polinomiale. Non sono stato in grado di trovare molte informazioni su altri problemi che non possono essere verificati in tempi polinomiali o un'analisi di un tale problema. Mi chiedevo se qualcuno di voi fosse a conoscenza di tali problemi e / o come analizzarli.

Come indicato nei commenti, un modo migliore per formulare questa domanda è: quali problemi sono decidibili ma al di fuori di NP?

cc.complexity-theory complexity-classes

— Scott R
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Problemi al di fuori di ?

N P

$\mathsf{NP}$

— Hsien-Chih Chang 張顯之

Sì, in particolare quelli che possono essere verificati solo non in tempo polinomiale.

— Scott R,

Potresti vedere questi completi e fornire loro riduzioni. cstheory.stackexchange.com/questions/3297/…

N E X P

$\mathsf{NEXP}$

— Hsien-Chih Chang 張顯之

Il problema non hamiltoniano non può essere verificato in tempo polinomiale a meno che coNP = NP.

— Mohammad Al-Turkistany,

@turkistany @ Hsien-Chih Chang, perché non pubblicare i tuoi commenti sopra come risposte.

— Kaveh,

Risposte:

La cosa più importante da realizzare dal punto di vista teorico è che NP è in realtà una classe relativamente piccola di tutte le lingue decidibili. Detto questo, molti dei problemi interessanti nell'informatica si trovano all'interno di NP, quindi ricevono molta attenzione.

Si presume che . $NP \subsetneq PH \subsetneq PSPACE \subsetneq EXP \subsetneq NEXP$

Le classi PH, PSPACE ed EXP contengono molti dei problemi "interessanti" in , che è quello che presumo tu stia chiedendo in questa domanda. Finora il NEXP ha attirato tutta l'attenzione perché è l'unico contenimento adeguato che possiamo dimostrare (dal teorema della gerarchia temporale non deterministico, come ho detto sopra). $R \setminus NP$ $NP \subsetneq NEXP$

Ecco alcuni esempi concreti interessanti di problemi in alcune di queste altre classi:

Determinare se un giocatore ha una strategia vincente negli scacchi o nel Go (adattato alle nxn board) è EXP completo.
MAJ-SAT, il problema di determinare se oltre la metà delle assegnazioni alle variabili in una formula booleana soddisfa quella formula, è in PSPACE. È completo anche per la classe più piccola PP.
EXACT-CLIQUE, il problema di determinare se la cricca più grande in un grafico ha dimensioni esattamente k, è in , parte del secondo livello della gerarchia polinomiale. $\Sigma_2^P$

— Huck Bennett
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Per curiosità, la classe dei problemi ricorsivi è il significato "standard" di R? Questo è ciò che sembra indicare lo Zoo, ma ho visto R come sinonimo di RP abbastanza spesso da essere la mia lettura istintiva quando ho visto R \ NP ...

— Steven Stadnicki,

Penso che sia una notazione standard. Si adatta perfettamente a "RE" e "co-RE".

— Huck Bennett,

Sia gli scacchi che i Go sono in genere EXPTIME completi a causa delle regole di ripetizione.

— Geoffrey Irving,

@GeoffreyIrving: hai ragione, grazie. Fisso. Non sono sicuro di ciò che avevo (erroneamente) in mente quando l'ho scritto, ma ci sono "sotto-problemi" di Go, come i LADDERS, che sono completi di PSPACE: link.springer.com/chapter/10.1007%2F3-540 -45579-5_16

— Huck Bennett,

Bene, se avessi un oracolo PSPACE a portata di mano, probabilmente potresti giocare abbastanza bene. :)

— Geoffrey Irving

Estendendo il commento di Hsien-Chih Chang, ogni problema difficile del NEXP non può essere in NP, quindi per definizione non può essere verificato in tempo polinomiale.

Si potrebbe usare il teorema della gerarchia temporale non deterministica per vedere che NP è strettamente contenuto in NEXP. Pertanto, possiamo essere certi che dato qualsiasi problema NEXP-difficile, non è in NP o saremmo condotti in una contraddizione.

— chazisop
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Si noti che Buhrman, Fortnow e Santhanam costruiscono un oracolo rispetto al quale NEXP è infinitamente spesso contenuto in NP, tuttavia ( dx.doi.org/10.1007/978-3-642-02927-1_18 ). In altre parole, esiste un oracolo rispetto al quale per ciascun problema NEXP L, esiste un problema L 'in NP tale che L è uguale a L' su infinitamente lunghezze di ingresso. Quindi, sebbene infinitamente molte istanze di un problema completo del NEXP non possano essere verificate in tempo polifunzionale, non possiamo escludere (in modo relativabile) la possibilità che molte altre istanze possano essere verificate in tempo polifunzionale.

— Joshua Grochow,