Limiti inferiori per Frege ed Extended Frege

Wikipedia [1] afferma che il limite inferiore più noto per dimensione delle prove di Frege è quadratico e che non ci sono limiti inferiori superlineari noti per il numero di linee di prove di Frege.

Domande:

1) Qual è il limite inferiore più noto per il numero di righe di prove Frege estese?

2) Qual è il limite inferiore più noto per la dimensione delle prove Frege estese? È ancora quadratico come in Frege?

3) Frege estesa a forma di albero può simulare Frege estesa a forma di DAG in un numero polinomiale di passaggi. Esistono limiti inferiori superlineari per dimensione / numero di righe su Frege esteso simile ad un albero?

4) Quali sono le tautologie che portano al limite inferiore lineare per il numero di linee e al limite inferiore quadratico per la dimensione nelle prove Frege come indicato su Wikipedia?

Obs: Sono consapevole del fatto che per Frege a profondità costante abbiamo limiti inferiori di dimensione dell'ordine di . Ma sono davvero interessato a Full Power Frege e Extended Frege. $2^{\Omega(n^{6^{-d}})}$

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Frege_system

proof-complexity

— verifica
fonte

$\neg^{2n}\top$

3) Non è del tutto chiaro per me come si definisce esattamente Frege esteso simile ad un albero (deve esserci un meccanismo che consente il riutilizzo degli assiomi di estensione), ma non sono a conoscenza di limiti inferiori superlineari sul numero di linee in Freel treelike o sistemi Frege estesi.

— Emil Jeřábek
fonte

Non puoi definire Extended Frege come Circuit Frege (nel tuo documento APAL 2004)? E quindi la definizione di Frege come un albero è immediata.

— Iddo Tzameret,

@Iddo: posso, ma posso anche definirlo in molti altri modi, e non è del tutto chiaro che il loro numero di linee sarà lo stesso in questo rigido regime (lineare).

— Emil Jeřábek

Inoltre, penso che per Frege esteso la dimensione del limite inferiore sia solo lineare e non quadratica, giusto?

— Iddo Tzameret,

No, questo è il punto che sto cercando di capire. Il limite inferiore quadratico vale per Frege esteso, anche se non è comunemente indicato in questo modo.

— Emil Jeřábek

Ho pensato che fosse quadratico solo se si definisce la dimensione di Frege estesa contando il numero di (distinte) sottformule. Ma la dimensione effettiva è lineare. Dovrò rivisitare la prova allora ...

— Iddo Tzameret,