Puoi spiegare un'intuizione dietro Coherent Spaces?

La logica lineare è interpretata usando spazi coerenti e sono presenti in modo prominente nei lavori di Girard. Conosco tutti e tre i modi principali per definirli formalmente, e in realtà non rappresentano alcun problema per l'uso e la dimostrazione delle cose, ma non riesco proprio a capire cosa significano .

Sembra davvero che ci sia un modo per capirli . Prima di tutto, ci sono alcuni esempi su di essi che usano funzioni su booleani (come in un wiki da qualche parte ). E suggerisce qualcosa di interessante e significativo dietro la definizione formale. Tuttavia, boolè uno spazio coerente molto semplice, senza cricca di dimensioni > 1. Qualcuno può elaborare?

Un'altra cosa che Girard dice da qualche parte che ogni punto di uno spazio coerente rappresenta una specifica "sequenza di domande / risposte", con due punti che sono coerenti se "si biforcano negativamente (cioè su domande diverse)" e incoerenti se si biforcano su risposte diverse [1]. Sembra un'idea facile da capire ma non riesco proprio a inventare un esempio, quindi significa che non riesco davvero a capirlo ...

Qualcuno potrebbe aiutarmi per favore con quello?

[1] JY Girard, Il fantasma della trasparenza . URL: http://iml.univ-mrs.fr/~girard/longo1.pdf

lo.logic linear-logic

— Valya
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Hai controllato la carta Linear Logic originale di Girard ?

— Kaveh,

@Kaveh L'ho sfogliato (velocemente) ma non sembra offrire nulla che "The Blind Spot" non abbia (che ho letto) ... Ha una definizione, ma nessuna metafora / interpretazione / spiegazione.

— Valya,

È passato molto tempo da quando li ho esaminati, ma penso che se vuoi davvero capire da dove vengono questi devi tornare per completare la semantica della logica intuizionistica dell'algebra di Heyting e del dominio Scott. I domini (dcpo) sono generalmente usati per esprimere informazioni parziali, due elementi xey sono compatibili se le loro informazioni possono essere combinate, cioè {x, y} ha un sup. La coerenza è proprio questa compatibilità delle informazioni. (Penso che valga la pena leggere l'articolo di Linear Logic per capire da dove provengono le idee di Girard.)

— Kaveh

Quel suono su cosa dovrei fare, con i domini, sì ... Grazie! Vado in quella direzione e poi, se nessuno risponde, forse un giorno scriverò la risposta da solo.

— Valya,

(E darò una buona occhiata anche al foglio, grazie - risulta che ho scremato quello sbagliato)

— Valya

Risposte:

L'intuizione dietro gli spazi di coerenza è che gli elementi di uno spazio di coerenza rappresentano le osservazioni di alcuni dati sottostanti e la relazione di coerenza ti dice se due osservazioni potrebbero provenire dallo stesso pezzo di dati.

Concretamente, supponiamo di avere una serie di animali

Animals = {cat, duck, fish}

Ora, possiamo avere una serie di osservazioni:

Observations = {warm-blooded, swims, water-breathing, furry}

Diciamo che due osservazioni sono compatibili se entrambe potessero essere fatte dello stesso animale. Ogni osservazione è compatibile con se stessa e inoltre:

$\stackrel{{\large\frown}}{{\small\smile}}$
$\stackrel{{\large\frown}}{{\small\smile}}$
$\stackrel{{\large\frown}}{{\small\smile}}$
$\stackrel{{\large\frown}}{{\small\smile}}$

Sappiamo che essere a sangue caldo è compatibile con il nuoto, perché le anatre sono a sangue caldo e nuotano. Ma essere a sangue caldo e la respirazione dell'acqua non sono compatibili, dal momento che non abbiamo animali che siano entrambi a sangue caldo e respirazione dell'acqua.

Observations $\stackrel{{\large\frown}}{{\small\smile}}$ Observations $\stackrel{{\large\frown}}{{\small\smile}}$

— Neel Krishnaswami
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ma a quanto ho capito, il valore del tipo Observationssarebbe una cricca - quindi non un'osservazione, ma un insieme di essi. quindi è più come [Observation], vero? lo stesso con Animals(le cricche sarebbero singletones, ma comunque) ...

— Valya,

certo, nemmeno esattamente [Observation], ma comunque ... ho difficoltà a trovare un esempio in cui una cricca non singleton avrebbe senso un valore

— valya,

Ho sempre avuto difficoltà a formare un'intuizione per gli spazi di coerenza, fino a quando non ho acquisito maggiore familiarità con la teoria dei domini e letto "Il sistema F di tipi variabili, Girard, quindici anni dopo". Gli spazi di coerenza sono solo un tipo speciale di dominio e ho trovato molto più facile capire cosa significa coerenza a partire da lì. Proverò a dare una spiegazione che avesse più o meno senso per me.

Immagina di voler studiare programmi che portano input interi a output interi. In generale, questi programmi possono essere ripetuti in loop per sempre, quindi ha senso modellarli matematicamente come funzioni parziali da numeri interi a numeri interi: se il programma passa, la funzione parziale corrispondente non è definita su quell'ingresso. Possiamo vedere una funzione parziale fcome un grafico : un insieme di coppie di numeri interi (n, m)che fè definito ne uguale a m. Questo ci consente di rappresentare queste funzioni come uno spazio di coerenza:

La ragnatela dello spazio di coerenza è l'insieme di coppie di numeri interi (n, m).
Due coppie (n, m)e (n', m')sono coerenti se e solo se ne n'sono diverse, o me m'sono uguali.

Disimballando le definizioni, vediamo che ogni cricca di questo spazio di coerenza è il grafico di una funzione parziale e viceversa. Possiamo interpretare la relazione di coerenza nel dire che, una è definita una funzione parziale su un input, produce solo un risultato per quell'input. Se sei abituato ad altri tipi di semantica teorica del dominio, l'inclusione delle cricche corrisponde al solito ordine di Scott sulle funzioni parziali sugli interi.

— Arthur Azevedo De Amorim
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