Casella allineata all'asse più piccola che contiene

Input: un set di punti in e un numero intero . $n$ $\mathbb{R}^3$ $k \le n$

Output: il riquadro di delimitazione allineato all'asse del volume più piccolo che contiene almeno di questi punti. $k$ $n$

Mi chiedo se sono noti algoritmi per questo problema. Il meglio che mi venne in mente fu il tempo , vagamente come segue: forza bruta su tutti i possibili limiti superiore e inferiore per due delle tre dimensioni; per ciascuna di queste possibilità , possiamo risolvere la corrispondente versione dimensionale del problema nel tempo usando un algoritmo a finestra scorrevole. $O(n^5)$ $O(n^4)$ $1$ $O(n)$

cg.comp-geom

— GMB
fonte

Non possiamo calcolare una tabella di dimensioni

per il numero di punti

con

? Il calcolo del numero di punti e del volume può essere fatto con un numero costante di operazioni e possiamo usare la programmazione dinamica con una tabella di dimensioni

e dovremmo essere in grado di ottenere un algoritmo

n^{3}

$n^3$

p

$p$

p . x < x, p . y < y, p . z < z

$p.x< x, p.y<y, p.z <z$

k n^{3}

$k n^3$

O (k n^{3})

$O(kn^3)$

— Kaveh,

k = Θ (n)

$k=\Theta(n)$

n^{5}

$n^5$

n^{6}

$n^6$

n^{5}

$n^5$

(1 - ϵ) k

$(1-\epsilon)k$

k

$k$

O (((n / k) / ϵ^{2} \log n)^{O (1)})

$O( ((n/k)/\epsilon^2 \log n)^{O(1)})$

k = Θ (n)

$k = \Theta(n)$

$n$ $O(n^3)$

$1/k$ $n/k$ $O((n/k)^3)$ $R$ $O(k^6 \log n)$ volte. Con alta probabilità, una delle caselle che hai provato è la casella desiderata.

$O((n/k)^3 * k^6 * polylog n) = O(n^3 k^3 \log^{O(1)} n )$

$\frac{1}{k^6} ( 1-1/k)^{k-6} \approx 1/k^6 = p$ $O( (1/p) \log n)$

$\Theta(n^3)$

$O(n^3 \log^2 n)$

— Sariel Har-Peled
fonte

k = Θ (n)

$k = \Theta(n)$

O (n^{3} k^{3})

$O(n^3 k^3)$

O (n^{6})

$O(n^6)$

k

$k$