Trovare la più grande serie di punti di diametro limitato

Dati i punti in e una distanza trovano il sottoinsieme più grande di questi punti in modo tale che la distanza euclidea di non due di essi superi . $p_1,\ldots,p_n$ $\mathbb{R}^{d}$ $l$ $l$

Qual è la complessità di questo problema?

Nel grafico sopra i punti che hanno un bordo ogni volta che la distanza di due punti è al massimo , il problema equivale a trovare una cricca massima. Il contrario potrebbe non essere valido, perché non tutti i grafici possono essere ottenuti in questo modo (un esempio è la stella per ). Pertanto una domanda correlata è: cosa si sa di questa classe di grafici? $l$ $K_{1,7}$ $d=2$

ds.algorithms reference-request cg.comp-geom

— Marcus Ritt
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Nota che se

è fisso, c'è un algoritmo P-time "banale": poiché tale set è racchiuso in una sfera di raggio

, e senza perdita di generalità la palla è minima (cioè tocca

punti), enumera solo tutti i sottoinsiemi. Puoi fare di meglio, ma dal punto di vista della complessità, il problema è "facile".

d

$d$

l / 2

$l/2$

d + 1

$d+1$

— Suresh Venkat,

Non credo sia vero che il set ottimale sia necessariamente racchiuso in una sfera di raggio l / 2. Nel piano, ad esempio, i tre vertici di un triangolo equilatero di lunghezza laterale l non sono così chiusi.

— David Eppstein,

ah vero. ma l'enumerazione dovrebbe funzionare indipendentemente.

— Suresh Venkat,

È possibile enumerare i sottoinsiemi all'interno delle sfere, ma se si crea il raggio l / 2, non si troveranno alcuni sottoinsiemi di diametro ridotto e se si rende il raggio più alto di quello, non è ovvio come tagliare i sottoinsiemi in modo che hanno un diametro basso.

— David Eppstein,

perché non riesco a enumerare i sottoinsiemi, trovare una palla che racchiude min e calcolare la cardinalità all'interno di ciascuno?

— Suresh Venkat,

Risposte:

C'è un algoritmo di tempo per la versione bidimensionale di questo problema nel mio articolo con Jeff Erickson, " Iterazione dei vicini più vicini e ricerca di polipropilene minimi ", Disc. Comp. Geom. 11: 321-350, 1994. In realtà il documento esamina principalmente il doppio problema: dato il numero di punti nel sottoinsieme, trova il diametro più piccolo possibile; ma utilizza il problema che descrivi come subroutine. Almeno al momento in cui l'abbiamo scritto, non sapevamo nulla di esponente per dimensioni superiori (anche se se il sottoinsieme ha solo punti in esso, la parte esponenziale può essere resa dipendente da anziché da $O(n^3\log n)$ $k$ $k$ $n$ usando le tecniche nello stesso documento).

— David Eppstein
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L'approssimazione è piuttosto semplice se si è interessati al sottoinsieme più piccolo con diametro al massimo . Un algoritmo di tempo lineare che utilizza le griglie è ormai "standard". La costante sarebbe probabilmente qualcosa come . $(1+\epsilon)l$ $2^{O(1/\epsilon^d)}$

C'è qualche lavoro per trovare la palla più piccola contenente k punti, ma il problema del diametro è intrinsecamente più difficile. Per capire perché, un buon punto di partenza è la carta Clarkson-Shor per calcolare il diametro in 3d.

A proposito, per dimensioni elevate, il problema della palla è approssimabile nel tempo esponenziale in (o qualche rumore simile), usando i coreset (ma non nella dimensione!). Dubito che questo approccio possa essere esteso a questo problema, ma potrei sbagliarmi. $O(1/\epsilon^2)$

— Sariel Har-Peled
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