"Colorazione ipergrafica completamente diversa" - problema noto?

Sono interessato al seguente problema: dato un set X e sottoinsiemi X_1, ..., X_n di X, trova una colorazione degli elementi di X con k colori in modo tale che gli elementi in ogni X_i siano tutti diversamente colorati. Più specificamente, sto esaminando il caso in cui tutti gli X_i sono della dimensione k. Questo è noto in letteratura con qualche nome? Sto cercando caratterizzazioni di istanze colorabili e risultati sulla complessità (P vs. NP-hard). Ad esempio, per k = 2, le istanze colorabili corrispondono ai grafici bipartiti e quindi il problema può essere risolto in tempo polinomiale.

Credo che questo sia noto in letteratura come il problema di trovare una forte colorazione k per un ipergrafo k-uniforme. Questo dovrebbe essere un buon punto di partenza: [PDF] .

È anche difficile quanto -colora un grafico G = ( X , E ) , dove E si forma trasformando ogni X i in una cricca. La tua limitazione secondo cui tutte le X i sono della dimensione k significa che puoi coprire ogni bordo di G con una cricca su k vertici.$k$$G=(X,E)$$E$$X_i$$X_i$$k$$G$$k$

$k$$G = (V,E)$$e = \{u,v\}$$X_e = \{ u, v, x(e,3), x(e,4), \dotsc, x(e,k) \}$$x(e,j)$$k$$G$

Una colorazione in cui ogni hyperedge è policromatica (o arcobaleno ) è anche conosciuta come una colorazione forte .

Si noti che una colorazione forte di un ipergrafo è precisamente una colorazione corretta del grafico di Gaifman dell'ipergrafo. (Il grafico di Gaifman (o grafico primario o 2 sezioni ) di un ipergrafo si forma aggiungendo bordi tra due vertici che compaiono insieme in qualche hyperedge.)

$k$$r$$H$$k$$H$$r=2$$k=2$$k\ge 3$$r <2$$k\lt r$

$C$$D$