Sulla realizzazione di monoidi come monoidi sintattici delle lingue

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Sia un linguaggio, quindi definiamo la congruenza sintattica come e il quoziente monoide è chiamato monoid sintattica di . $L \subseteq X^{\ast}$

u \sim v :\Leftrightarrow \forall x, y \in X^{*} : x u y \in L \leftrightarrow x v y \in L

$u \sim v :\Leftrightarrow \forall x, y\in X^{\ast} : xuy \in L \leftrightarrow xvy \in L$

X^{*} / \sim_{L}

$X^{\ast} / \sim_L$

L

$L$

Ora quali monoidi nascono come monoidi sintattici delle lingue? Ho trovato le lingue per i gruppi simmetrici e per l'insieme di tutte le mappature su alcuni insiemi finiti sottostanti. Ma per quanto riguarda gli altri, ci sono monoidi finiti che non potrebbero essere scritti come il monoide sintattico di qualche linguaggio?

Per un dato automa, considerando il monoide generato dalle mappature indotte dalle lettere sugli stati (il cosiddetto monoid di trasformazione) quando la composizione della funzione viene letta da sinistra a destra, sostiene che il monoide di trasformazione dell'automa minimo è precisamente il monoide sintattico. Questa osservazione mi ha aiutato a costruire gli esempi sopra menzionati.

Consentitemi, inoltre, che non è abbastanza semplice realizzare qualsiasi monoide finito come monoide di trasformazione di un automa, semplicemente prendere gli elementi di come stati e considerare ogni generatore di come una lettera dell'alfabeto e le transizioni sono date per per alcuni stati e lettera , quindi il monoide di trasformazione è isomorfo a stesso (questo è simile al teorema di Cayley su come i gruppi si incorporano in gruppi simmetrici). $M$ $M$ $M$ $qx$ $q$ $x$ $M$

— StefanH
fonte

Che cosa significa il termine "lingua" in questo contesto? Un sottomonoide, forse? Modificare. Bene, non credo, dal momento che ciò significherebbe che

è sempre stata la relazione di uguaglianza. Forse sono sottoinsiemi arbitrari?

\sim

$\sim$

— Goblin,

1

@goblin Una lingua è solo un sottoinsieme arbitrario di

(ovvero un insieme di sequenze finite o il monoide libero); codificano le parole.

X^{*}

$X^{\ast}$

— StefanH,

G / N

$G/N$

N

$N$

G

$G$

X^{*}

$X^{\ast}$

\sim

$\sim$

G

$G$

N

$N$

L

$L$

L

$L$

L

$L$

Q

$Q$

Q \times X^{*} \to Q

$Q \times X^{\ast} \to Q$

X^{*} \to Q^{Q}

$X^{\ast} \to Q^Q$

\sim

$\sim$

q_{0} \cdot x u y = q_{0} \cdot x v y

$q_0\cdot xuy = q_0\cdot xvy$

u \sim v

$u\sim v$

\sim

$\sim$

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$\omega$

Titolo : Quali monoidi finiti sono monoidi sintattici di omega-lingue razionali .

Autori : Phan Trung Huy, Igor Litovsky, Do Long Van

Riassunto : viene introdotta una nozione di set ω-rigidi per un monoide finito. Dimostriamo che un monoide finito M è il monoide sintattico di Arnold di un razionale linguaggio ω (ω-sintattico in breve) se e solo se esiste un insieme ω-rigido per M. Questa proprietà è mostrata decidibile per i monoidi finiti . Viene stabilita la relazione tra la famiglia dei monoidi ω-sintattici e quella dei monoidi ∗-sintattici (cioè i monoidi sintattici dei linguaggi razionali di parole finite).

Inoltre, la pagina di Wikipedia sui monoidi sintattici afferma:

Ogni monoide finito è omomorfo al monoide sintattico di un linguaggio non banale, [1] ma non tutti i monoidi finiti sono isomorfi a un monoide sintattico. [2]
Ogni gruppo finito è isomorfo al monoide sintattico di un linguaggio non banale. [1]

[1] McNaughton, Robert; Papert, Seymour (1971). Automata senza contatori. Monografia di ricerca 65. Con un'appendice di William Henneman. MIT Premere. p. 48. ISBN 0-262-13076-9. Zbl 0232.94024.

[2] Lawson (2004) p.233

— Denis
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Cosa significa "omomorfo a"? Cioè, in che direzione va l'omomorfismo, e deve essere suriettivo?

— Emil Jeřábek 3.0

2

Significa che qualsiasi monoide finito è un sottomonoide di un monoide sintattico. Ciò è confermato in kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1437-2.pdf

— Denis

Solo una nota: le pubblicazioni RIMS delle riunioni del gruppo degli automi di solito non sono referenziate. Quindi fai attenzione ai contenuti, se non puoi verificarli tu stesso.

— Peter Leupold,

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In un modo più elementare della risposta di Denis, quanto segue è estratto da "Teorie della calcolabilità" di Pippenger, p.87, e immediato da controllare.

$M$ $Y \subseteq M$ $\equiv_Y$ $M$ $x \equiv_Y y$ $\big[\forall w, z \in M$ $wxz \in Y \Leftrightarrow wyz \in Y\big]$

$M$ $Y \subseteq M$ $x \equiv_Y y \Rightarrow x = y$ $x, y \in M$ $M \approx M/\equiv_Y$

$M$

— Michaël Cadilhac
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$P$ $M$ $P$ $M$

$\{1, a, b, c\}$ $1$ $xy = y$ $x, y \in \{a,b,c\}$

— J.-E. perno
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