Qual è la complessità nel distinguere un vero spettro di Fourier da uno falso?

A $PH$ macchina abbia accesso ad un oracolo casuale booleano funzione $f:\{0,1\}^n \to \{ -1,1 \}$ , e due spettri di Fourier $g$ ed $h$ .

Gli spettri di Fourier di una funzione $f$ sono definiti come $F:\{0,1\}^n \to R$ :

$F(s)=\sum_{x\in\{0,1\}^n} (-1)^\left( s\cdot x \mod\ 2 \right) f(x)$

Uno di $g$ o $h$ è il vero spettro di Fourier di $f$ e l'altro è solo un falso spettro di Fourier appartenente a una sconosciuta funzione booleana casuale.

Non è difficile dimostrare che una macchina $PH$ , non può nemmeno approssimare $F(s)$ per qualsiasi $s$ .

Qual è la complessità della query nel decidere con alta probabilità di successo quale è quella vera?

È interessante per me, poiché se questo problema non è in $PH$ , allora si può dimostrare che esiste un oracolo rispetto al quale $BQP$ non è un sottoinsieme di $PH$ .

— Mirmojtaba Gharibi
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@Mirmojtaba: Mentre conosco il problema e la motivazione, sarebbe bello se tu potessi modificare la tua domanda e definire "spettri di Fourier" e spiegare la motivazione per i lettori che non hanno familiarità con questo problema (o solo con la terminologia che hai usato). In questo modo potresti ricevere più risposte dalle persone. Inoltre, di solito è preferibile modificare la domanda per aggiungere commenti aggiuntivi, anziché pubblicarli nel thread dei commenti. (Quindi i lettori devono solo leggere la tua domanda e non i commenti.)

— Robin Kothari,

Forse ho frainteso il problema, ma sembra che questo problema sia troppo difficile. Se geh sono molto vicini (diciamo che differiscono solo per 1 bit), come fa una macchina BQP a decidere quale sia lo spettro di Fourier corretto di f? Il limite inferiore del problema di ricerca non dovrebbe implicare che questo è difficile per i computer quantistici?

— Robin Kothari,

Ho una domanda più semplice. data una funzione arbitraria, è facile dire se è davvero lo spettro di quattro di una funzione booleana?

— Suresh Venkat,

a parte questo, dato che ha aspettato due giorni prima del crossposting, e anche dopo aver ricevuto nessuna risposta qui, penso che sia perfetto farlo. Vedi anche la risoluzione raggiunta qui: meta.cstheory.stackexchange.com/questions/673/…

— Suresh Venkat

Che cos'è una macchina PH? In effetti, questo sembra irrilevante se sei interessato solo alla complessità della query, giusto? In questo caso il problema sembra ridursi a un semplice problema di algebra lineare, che probabilmente dà una complessità di query esponenziale.

— domotorp,

Risposte:

Scusa il ritardo, è una domanda meravigliosa! Come altri hanno già sottolineato, questo è esattamente il motivo per cui ho posto la domanda nel mio documento BQP vs. PH e perché ho trascorso 4 o 5 mesi a lavorarci senza successo nel 2008. Un modo per rispondere alla domanda sarebbe stato quello di dimostrare un'affermazione molto più generale che ho chiamato "Congettura Linial-Nisan generalizzata" --- ma sfortunatamente, quella congettura si è rivelata falsa , almeno per i circuiti di profondità 3 e superiori. (Penso ancora che sia probabilmente vero per i circuiti di profondità 2, che avrebbero almeno prodotto una separazione dell'oracolo tra BQP e AM.) Per idee più recenti (le ultime, per quanto ne so) verso una separazione dell'oracolo tra BQP e PH, vedere il bel documento di follow-up di Fefferman, Shaltiel, Umans,

— Scott Aaronson
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la precedente affermazione della domanda di Gharibi è identica o leggermente diversa? è una tua versione relativizzata?

— vzn

È una leggera variante, ma credo che non sia difficile dimostrare l'equivalente. Innanzitutto, sicuramente se riesci a risolvere il controllo di Fourier, puoi anche risolvere il problema di Gharibi (esegui l'algoritmo FC separatamente per geh). Per il contrario, se riesci a risolvere il problema di Gharibi, quindi data un'istanza di FC, dai un nome casuale alla seconda funzione FC "g" o "h", e imposta l'altro dei due (rispettivamente h o g) come una funzione casuale. Se l'algoritmo Gharibi seleziona sempre la funzione originale dall'istanza FC, questa è la prova che l'istanza era correlata anziché casuale.

— Scott Aaronson,

È più noto quando f è in P?

— Gil Kalai,

Gil: Non proprio! Si ottiene quindi un problema di promessa non relativizzato in BQP, che non sappiamo essere in PH. Certamente, potresti simulare il caso "casuale" del problema dell'oracolo sostituendo feg con funzioni pseudocasuali (calcolato nel tempo che è un polinomio più grande di quello che la macchina PH ha a disposizione). La parte difficile è, come simulate il caso "correlato" del problema dell'oracolo (dove f è vicino alla trasformata di Fourier di g)? Cioè, come si forniscono piccoli circuiti per tali feg che non "regalano l'intero gioco"? (Un problema simile si verifica con il problema di Simon.)

— Scott Aaronson,

Scott Aaronson potrebbe essere la persona migliore al mondo per rispondere a questa domanda, forse avrà una risposta migliore dopo che questa è stata pubblicata. egli ha proposto il problema originale su cui questa domanda postata sembra essere una leggera variante, il cosiddetto problema del controllo di Fourier (più riferimenti a questo nei commenti). il problema è strettamente correlato / quasi equivalente alla separazione di due importanti classi di complessità PH e BQP, che è un problema chiave aperto della teoria della complessità del QM, ed è presumibilmente molto difficile. non sembra che finora siano state fatte molte ricerche dirette / ulteriori su questo problema da chiunque non sia Aaronson e forse nemmeno lui (apparentemente ha poco più di 2 anni).

tuttavia qui c'è almeno un articolo di qualcuno diverso da Aaronson che si concentra / sviluppa sulla congettura / problema con alcuni nuovi risultati.

Gli SpeedUp esponenziali sono generici di Fernando GSL Brandão e Michał Horodecki

Nel nostro documento [4] generalizziamo il problema di Fourier Checking [1] e mostriamo che la trasformata di Fourier, sia nella definizione del problema che nell'algoritmo quantico che lo risolve, può essere sostituita da una grande classe di circuiti quantistici. Questi includono sia la trasformata di Fourier su qualsiasi gruppo finito (possibilmente non abeliano) sia quasi qualsiasi circuito quantico sufficientemente lungo da una distribuzione naturale sull'insieme dei circuiti quantistici. Otteniamo separazioni esponenziali di complessità di query classiche quantistiche e postelette per tutti questi circuiti.

— VZN
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addendum: Aaronson ha formulato il problema del controllo di Fourier specificamente come una possibile / plausibile via per risolvere il in riferimento [1] del documento di Branda ~ o.

B Q P ⊈ P H

$BQP\nsubseteq PH$

— vzn,