Basi incomplete di combinatori

Questo si ispira a questa domanda. Sia la raccolta di tutti i combinatori che hanno solo due variabili associate. è combinatoriamente completa? $\mathcal{C}$ $\mathcal{C}$

Credo che la risposta sia negativa, tuttavia non sono stato in grado di trovare un riferimento per questo. Sarei anche interessato a riferimenti per prove di incompletezza combinatoria di insiemi di combinatori (posso vedere perché l'insieme costituito da combinatori con una sola variabile associata è incompleto, quindi questi insiemi dovrebbero contenere più di semplici elementi di ). $\mathcal{D}$ $\mathcal{D}$

lo.logic lambda-calculus combinatory-logic

— TCI
fonte

Potresti chiarire cosa intendi con il numero di variabili associate di un combinatore (= termine lambda chiuso)? Numero totale di astrazioni lambda?

— Noam Zeilberger,

Sì, questo è ciò che intendevo.

— Tci,

In realtà, forse non è esattamente quello che intendevi ... forse piuttosto intendi il numero totale di variabili distinte utilizzate nelle astrazioni lambda, quindi ad esempio

ha due variabili legate distinte, nonostante abbia quattro astrazioni lambda? In tal caso, sembra che Rick Statman abbia risposto esattamente a questa domanda (negativamente), in " Due variabili non sono sufficienti ".

(λ x . x (λ y . y)) (λ x . λ y . x y)

$(\lambda x.x(\lambda y.y))(\lambda x.\lambda y.x y)$

— Noam Zeilberger,

Giusto. Penso che questa sia la risposta che stavo cercando, e sicuramente mi aspettavo che fosse un risultato di Statman. Non ho ancora verificato, ma penso che ciò darebbe anche una risposta negativa alla domanda che ho citato. Se lo pubblicassi come risposta, accetterei volentieri.

— Tci

[Espandendo il commento in una risposta.]

Innanzitutto, solo un chiarimento sul conteggio delle variabili associate in un combinatore (= termine chiuso) . Interpreto la domanda come una domanda sul modo che, ad esempio, il termine conta come avere due variabili associate, pur avendo quattro leganti (cioè, astrazioni lambda). Questo modo di contare inizialmente era un po 'strano per me poiché non è invariante $t$

the total number of distinct bound variable names in t

$\text{the total number of distinct bound variable names in }t$

t = (λ x . x (λ y . y)) (λ x . λ y . y x)

$t = (\lambda x.x(\lambda y.y))(\lambda x.\lambda y.yx)$

-conversione: ad esempio,

equivalente a

, ma

ha quattro nomi variabili distinti associati. Tuttavia, questo non è davvero un problema, poiché ilnumerominimodi nomi di variabili associate distinti necessari per scrivere un termine chiuso

è uguale al

α

$\alpha$

t

$t$

α

$\alpha$

t^{'} = (λ x . x (λ y . y)) (λ a . λ b . b a)

$t' = (\lambda x.x(\lambda y.y))(\lambda a.\lambda b.ba)$

t^{'}

$t'$

t

$t$

the maximum number of free variables in a subterm of t

$\text{the maximum number of free variables in a subterm of }t$ e quest'ultima nozione è invariante sotto la conversione

α

$\alpha$

Quindi, sia la raccolta di tutti i combinatori che possono essere scritti usando al massimo due variabili rilegate distinte, o equivalentemente la raccolta di tutti i combinatori i cui subtermi hanno al massimo due variabili libere. $\mathcal{C}$

Teorema (Statman) : non è combinatoriamente completo. $\mathcal{C}$

Sembra che la prova originale di ciò sia contenuta in un rapporto tecnico di Rick Statman:

Combinatori ereditari di ordine due. Rapporto tecnico del Dipartimento di matematica di Carnegie Mellon 88-33, agosto 1988. ( pdf )

Statman definisce una raccolta essenzialmente isomorfa di combinatori che chiama "CALDO", per "ereditarietà del secondo ordine". Il rapporto tecnico mostra in realtà che la parola problema (cioè -uguaglianza) per HOT è ancora indecidibile, nonostante non sia combinatoriamente completa. Statman in seguito scrisse un breve documento indipendente con la prova che HOT non è completo in modo combinatorio in: $\beta$

Due variabili non sono sufficienti. Atti della nona conferenza italiana sull'informatica teorica, pagg. 406-409, 2005. ( acm )

In ogni caso, come riportato nell'abstract del rapporto tecnico originale, l'idea della dimostrazione è dimostrare che HOT è una "gerarchia a livello di definizione". Ossia, definisce una nozione di rango per un combinatore HOT e una famiglia di combinatori , tale che ogni ha rango e non è equivalente a nessuna combinazione di combinatori HOT di rango . Ciò implica che HOT non è completo in modo combinatorio, perché se $Hn$ $Hn$ $n+1$ $\beta$ $n$ combinatore potrebbe essere derivato da una combinazione di combinatori HOT di rango per alcuni , così come qualsiasi altro combinatore, in particolare il combinatore di rango . $S = \lambda x.\lambda y.\lambda z.(xz)(yz)$ $n$ $n$ $Hn$ $n+1$

— Noam Zeilberger
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