vs

È ? O, più in generale, è ?$\mathsf{NP^{PP}} = \mathsf{P^{PP}}$$\mathsf{NP^{PP}} \subseteq \mathsf{P^{PP}/poly}$

Questi sono interessanti problemi aperti. La tua seconda domanda provoca un crollo di Karp-Lipton.

Nota che il teorema di Toda ti dà , ma ciò non è sufficiente per i nostri scopi. Vogliamo sapere se , il che la rende una domanda divertente nel mio parere.$NP\subseteq P^{PP}$$NP^{PP}\subseteq P^{PP}$

1: Nota che e , quindi la tua prima domanda è già stata posta e risposta qui . Stai chiedendo se la gerarchia polinomiale collassa rispetto a un oracolo (o equivalentemente rispetto a un oracolo ). Secondo questa risposta , questa è una domanda aperta. Se allora chiaramente la gerarchia collassa rispetto a quell'oracolo.$NP^{PP}=NP^{\#P}$$P^{PP}=P^{\#P}$$PP$$\#P$$P^{PP}=NP^{PP}$

2: Penso che sia un problema aperto e risponderebbe se sappiamo se la gerarchia polinomiale collassa rispetto a un oracolo di . Perché, nota che ottieni un crollo di Karp-Lipton:$PP$

$$NP^{PP}\subset P^{PP}_{/poly} \text{ implies }{\Sigma_2^P}^{PP}={\Pi_2^P}^{PP}$$ Qui ho usato solo il fatto che il teorema di Karp-Lipton relativizza. Il fatto che tu lo veda come prova contro la congettura dipende dal fatto che pensi che la gerarchia polinomiale collassi rispetto a , perché se pensi che collassi fino a rispetto a questo oracolo, allora sì, .$PP$$P$$NP^{PP}=P^{PP}\subset P^{PP}_{/poly}$

Andando oltre, tieni presente che e non abbiamo un oracolo che separa , quindi una separazione dell'oracolo verso la tua prima domanda, , è più ambiziosa di così, e sarebbe un bel risultato a sé stante. Attualmente non abbiamo nemmeno un oracolo rispetto al quale .

$$PP\subseteq P^{PP}\subseteq NP^{PP}\subseteq PP^{PP}=C_2^P,$$ $PP\subsetneq PP^{PP}$$P^{PP}\subsetneq NP^{PP}$$P^{PP}\subsetneq PSPACE$

Personalmente mi piacerebbe vedere il rovescio della medaglia: è ? Sappiamo già che non è contenuto in per nessun fisso . Possiamo mostrare lo stesso per ?$PP\subseteq NP_{/poly}$$PP$$P_{/n^k}$$k$$NP_{/n^k}$