Il numero minimo di operazioni aritmetiche per calcolare il determinante

C'è stato qualche lavoro su come trovare il numero minimo di operazioni aritmetiche elementari necessarie per calcolare il determinante di una $n$ con $n$ matrice per le piccole e fissa $n$ ? Ad esempio, $n=5$ .

cc.complexity-theory linear-algebra determinant

— Lembik
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Ho chiesto agli esperti di questo, e apparentemente non è ancora noto se siano necessarie o meno 9 moltiplicazioni per calcolare il determinante di una matrice 3x3.

— Jeffrey Shallit,

@JeffreyShallit Se

9

$9$ è possibile, questo è già interessante (poiché ad esempio è inferiore a

n^{3}

$n^3$ ). Che ne dici di

n = 4

$n=4$ ?

— Lembik,

No, per niente interessante. 9 moltiplicazioni per n = 3 seguono l'espansione per minori. Per n = 4, l'espansione dei minori dà 40. Non so come farlo in meno di 40 moltiplicazioni.

— Jeffrey Shallit,

@JeffreyShallit Oh capisco, buon punto. È sorprendente (almeno per me) se non si sa nulla di meglio dell'ingenuo per qualsiasi

fisso .

n

$n$

— Lembik,

Se qualcuno lo sa, forse possono dircelo.

— Jeffrey Shallit,

È noto che il numero di operazioni aritmetiche necessarie per calcolare il determinante di una matrice è , dove è la costante di moltiplicazione della matrice. Vedi ad esempio questa tabella su Wikipedia, nonché le sue note e riferimenti. Si noti che la complessità asintotica dell'inversione della matrice è la stessa della moltiplicazione della matrice in questo stesso senso. $n\times n$ $n^{\omega+o(1)}$ $\omega$

L'equivalenza è abbastanza efficace. In particolare, puoi calcolare ricorsivamente il determinante di una matrice lavorando su blocchi usando il complemento di Schur: $n\times n$ $(n/2) \times (n/2)$

D invertibile ⟹ det (\begin{matrix} UN & B \\ C & D \end{matrix}) = det (D) det (UN - B D^{- 1} C) .

$\text{$D$ invertible}\qquad\implies\qquad\det \begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix} = \det(D) \det(A-BD^{-1}C).$

Pertanto, è possibile calcolare un determinante calcolando due determinanti , invertendo una matrice , moltiplicando due coppie di matrici e alcune operazioni più semplici. Espandendo ricorsivamente le chiamate determinanti, la complessità finisce per essere dominata dalla moltiplicazione e dall'inversione della matrice. $n\times n$ $(n/2)\times (n/2)$ $(n/2)\times (n/2)$ $(n/2)\times (n/2)$

Funziona bene anche per piccoli e anche senza utilizzare algoritmi di moltiplicazione a matrice sub-cubica. (Naturalmente, finisce per essere più o meno equivalente all'eliminazione gaussiana.) Ad esempio, per , possiamo calcolare con due moltiplicazioni, con quattro divisioni, con moltiplicazioni, $n$ $n=4$ $\det(D)$ $D^{-1}$ $BD^{-1}C$ $2\times 8=16$ $\det(A-BD^{-1}C)$ con due moltiplicazioni e la risposta finale con una moltiplicazione. Il numero totale è moltiplicazioni più divisioni, che è inferiore a dall'espansione cofattore. L'uso dell'algoritmo di Strassen consente di salvare due moltiplicazioni qui, ma in modo più asintotico. $2+4+16+2+1=25$ $40$

Si può notare che questa espansione utilizza in modo cruciale la divisione. Se si desidera evitare la divisione, è possibile farlo nelle operazioni lavorando con le sequenze di Clow e la programmazione dinamica . È anche noto come ottenere moltiplicazioni e nessuna divisione. $O(n^4)$ $n^{2+\omega/2+o(1)}$

— A. Rex
fonte

Conosci qualche limite inferiore al solo numero di moltiplicazioni? Anche per n = 3?

— Jeffrey Shallit,

La tua frase "il numero di operazioni aritmetiche necessarie per calcolare il determinante di una matrice

" suggerisce che è noto un limite inferiore. Ma non l'ho visto in nessuna delle opere citate. Mi sto perdendo qualcosa?

n \times n

$n \times n$

n^{ω + o (1)}

$n^{\omega +o(1)}$

— Jeffrey Shallit,

Il limite inferiore è nel documento di W.Baur e V.Strassen "La complessità dei derivati parziali" ( dx.doi.org/10.1016/0304-3975(83)90110-X )

— Vladimir Lysikov