Linguaggi regolari e complessità della comunicazione costante

Let essere un linguaggio, e definire da se e solo se . Sto cercando un riferimento per: $L \subseteq A^*$ $f_L\colon A^* \times A^* \to \{0, 1\}$ $f_L(x, y) = 1$ $x\cdot y \in L$

Proposizione. $L$ è regolare se la complessità di comunicazione deterministica di $f_L$ è costante.

$L$ $P$ $f_L$

n \mapsto max {comm (P, x, y) : | x \cdot y | = n}

$n \mapsto \max\{\text{comm}(P, x, y) : |x\cdot y| = n\}$

comm (P, x, y)

$\text{comm}(P, x, y)$

x

$x$

y

$y$

P

$P$

L'unico posto che ho potuto trovare è nella tesi di dottorato di George Hauser, 1989, disponibile qui , dove generalizza anche che ad altre distribuzioni dell'input tra Alice e Bob, in modo tale che il numero di "tagli" sia costante. $x\cdot y$

reference-request communication-complexity regular-language

— Michaël Cadilhac
fonte

Prendi una lingua che non è regolare e definisci . Quindi ha una complessità comunicativa , ma non è certamente regolare. Cosa mi sto perdendo?

C

$C$

L = {c \circ r : c \in C, r \in {0, 1}^{| c |}}

$L = \{c \circ r : c \in C, r \in \{0,1\}^{|c|} \}$

L

$L$

O (1)

$O(1)$

— Igor Shinkar,

@IgorShinkar: Non sono sicuro di ottenere esattamente ciò che hai scritto lì, ma sembri accennare alla prova classica che ogni lingua con una sola parola per lunghezza può essere trasformata in una lingua con complessità di comunicazione costante. Tuttavia, ciò presuppone che Alice e Bob ricevano esattamente metà della parola testata; qui, non esiste tale presupposto e, in modo contraddittorio, dovrebbero risolvere il problema data l' eventuale divisione dell'input. Questo risponde alla tua domanda?

— Michaël Cadilhac,

Oh, capisco. Quindi se per ogni divisione il CC è costante, allora è regolare.

L

$L$

— Igor Shinkar,

Per , hai "Complessità della comunicazione", Eyal Kushilevitz in Advances in Computers, Volume 44, 1997 ( http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0065245808603423 ). $\Rightarrow$

È anche possibile trovare una sezione "Complessità della comunicazione e gerarchia di Chomsky" nel libro "Complessità della comunicazione e calcolo parallelo" di Juraj Hromkovič, dove è stato dimostrato. Può darsi che sia provato anche da qualche parte nel libro, ma non riesco a trovarlo qui. La cosa più vicina che sembra esserci è l'Esercizio 5.2.5.2, ma è solo un esercizio (vedi anche l'intero capitolo 5, che studia ampiamente l'automa finito ma non credo che risponda esplicitamente alla tua domanda). $\Leftarrow$

Per quello che vale, la prova di entrambe le direzioni sembra facile, quindi penso che se ne hai bisogno in un documento puoi disegnarlo rapidamente: per , prendi un automa finito per e osserva che è sufficiente che Alice comunichi lo stato che raggiunge dopo aver letto la sua parte dell'input. Quindi Bob termina la simulazione negli automi. Per , se hai un protocollo limitato da una costante, allora ha un numero finito di quoziente che è una caratterizzazione ben nota delle lingue regolari . $\Rightarrow$ $L$ $\Leftarrow$ $L$ $w^{-1}L = \{u : wu \in L\}$

— holf
fonte

Molte grazie per il tuo suggerimento. Sono d'accordo sul fatto che sia un risultato facile e naturale, e che probabilmente dovrebbe essere considerato folklore. So che i due riferimenti che dai abbastanza bene, in effetti, e, proprio come hai fatto tu, non sono riuscito a trovare in esso il protocollo che sto prendendo in considerazione sopra. Poiché questa domanda è una "richiesta di riferimento", temo di non poter accettare la tua risposta a questo punto.

— Michaël Cadilhac,

Lo so, ma è stato troppo lungo per un commento e penso che valga la pena menzionare che almeno un modo è dimostrato esplicitamente in letteratura. Ti faccio sapere se inciampo sulla prova!

— lupo,

Molto apprezzato! :-)

— Michaël Cadilhac il