TSP euclideo in NP e complessità della radice quadrata

In questi appunti di Ola Svensson: http://theory.epfl.ch/osven/courses/Approx13/Notes/lecture4-5.pdf , si dice che non sappiamo se Euclidean TSP sia in NP:

Il motivo è che non sappiamo come calcolare le radici quadrate in modo efficiente.

D'altra parte c'è questo articolo di Papadimitriou: http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0304397577900123 che dice che è NP-completo, il che significa anche che è in NP. Anche se non lo dimostra nel documento, penso che consideri banale l'appartenenza a NP, come di solito accade con tali problemi.

Sono confuso da questo. Onestamente, l'affermazione che non sappiamo se Euclidian TSP sia in NP mi ha scioccato, dal momento che ho appena pensato che sia banale - prendendo il tour TSP come certificato, possiamo facilmente verificare che sia un tour valido. Ma il problema è che possono esserci delle radici quadrate. Quindi le note della lezione sostengono sostanzialmente che non possiamo in tempo polinomiale risolvere il seguente problema:

Dato numero razionale , decidere se .$q_1,\ldots,q_n,A\in\mathbb{Q}$$\sqrt{q_1}+\cdots+\sqrt{q_n}\leq A$

Domanda 1: cosa sappiamo di questo problema?

Ciò richiede la seguente semplificazione, che non sono riuscito a trovare:

Domanda 2: è riducibile al caso speciale quando ? Questo caso speciale è risolvibile al tempo polinomiale?$n=1$

Pensandoci per un po ', ci sono arrivato. Vogliamo una complessità temporale polinomiale rispetto al numero di bit dell'input, cioè non alla dimensione dei numeri stessi. Possiamo facilmente calcolare la somma in un numero polinomiale di cifre decimali. Per ottenere un brutto caso, abbiamo bisogno di un'istanza di per tale che per ogni polinomio , esiste un intero tale che e concordano sulle prime cifre di espansione decimale.$q_{1,k},\ldots,q_{n,k},A_k\in\mathbb{Q}$$k=1,2,\ldots$$p$$k$$\sqrt{q_{1,k}}+\cdots+\sqrt{q_{n,k}}$$A_k$$p(\text{input-size})$

Domanda 3: esiste una tale istanza di numero reazionale?

Ma cos'è ? Questo dipende dal modo in cui sono rappresentati i numeri razionali! Ora sono curioso di questo:$\text{input-size}$

Domanda 4: È algoritmicamente importante se viene dato un numero razionale come rapporto di due numeri interi (come ) o nell'espansione decimale (come )? In altre parole, esiste una famiglia di numeri razionali tale che la dimensione dell'espansione decimale non è limitata polinomialmente dalla dimensione della rappresentazione del rapporto o viceversa?$24/13$$2.5334\overline{567}$

Q1. Questo è un noto problema aperto. È noto per essere nel quarto livello della gerarchia di conteggio , a causa di [ABKM] . Non noto per essere in NP. Il problema non è proprio nel calcolo delle radici quadrate, come affermato nelle note della lezione: bit di una radice quadrata di un numero intero possono essere calcolati nel tempo polinomiale in e la dimensione in bit dell'intero. Il problema è, piuttosto, quanto vicino alla somma delle radici quadrate di numeri interi può arrivare a un numero intero, senza essere effettivamente integrale.$n$$n$

Q2. Il caso è ovviamente facile. È lo stesso di , che è in tempo polinomiale, perché la quadratura di un numero razionale è in tempo polinomiale.$n=1$$q \le A^2$

Q3. Secondo questa pagina , il più noto è che ci sono numeri interi , tutti tra e , tali che . Questo è un limite inferiore di sul numero di bit che devono essere calcolati per il problema potenzialmente più difficile che consente coefficienti negativi. Il miglior limite superiore sul numero di bit è esponenziale in .$a_1, \ldots, a_k, b_1, \ldots, b_k$$1$$n$$| \sum_{i = 1}^k \sqrt{a_i} - \sum_{i = 1}^k \sqrt{b_i}| = O(n^{-2k + 3/2})$$\Omega(2k\log n)$$k$

Q4. Penso che la rappresentazione decimale potrebbe essere abbastanza inefficiente. La lunghezza del periodo è dell'ordine moltiplicativo di 10 modulo del denominatore, che può essere esponenziale nel numero di bit del denominatore.

Hai scritto:

D'altra parte c'è questo articolo di Papadimitriou: http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0304397577900123 che dice che è NP-completo, il che significa anche che è in NP. Anche se non lo dimostra nel documento, penso che consideri banale l'appartenenza a NP, come di solito accade con tali problemi.

Perché non leggi semplicemente l'articolo, invece di pubblicare affermazioni senza senso? A pagina 239, Papadimitriou discute attentamente questi problemi e definisce la variante sottostante della metrica euclidea per la sua prova.