Problema degli spettri del grafico inverso?

Di solito si costruisce un grafico e quindi si pongono domande sulla decomposizione degli autovalori della matrice di adiacenza (o di un parente stretto come il Laplaciano ) (chiamati anche spettri di un grafico ).

Ma per quanto riguarda il problema inverso? Dati autovalori, si può (in modo efficiente) trovare un grafico con questi spettri? $n$

Ho il sospetto che in generale questo sia difficile da fare (e potrebbe essere equivalente a IG) ma cosa succede se si rilassano un po 'delle condizioni? Cosa succede se si creano condizioni in cui non esiste una molteplicità di autovalori? Che dire di consentire grafici che hanno spettri "vicini" per una certa metrica di distanza?

Eventuali riferimenti o idee sarebbero i benvenuti.

MODIFICA :

Come sottolinea Suresh, se si consentono grafici ponderati non indirizzati con loop automatici, questo problema diventa piuttosto banale. Speravo di ottenere risposte sull'insieme di grafici semplici non ponderati e non ponderati, ma sarei felice anche con i grafici diretti non ponderati.

— user834
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Penso che potresti dover modificare la domanda in "grafici non ponderati non indirizzati senza loop automatici" o qualcosa del genere? Posso immaginare di costruire una matrice diagonale con gli autovalori richiesti e dichiararla come un grafico disconnesso con selfloops ponderati?

— Suresh Venkat,

Una domanda ancora più semplice (non conosco la risposta) è come costruire grafici collegati semplici i cui primi autovalori sono dati

— Yaroslav Bulatov,

Un modo alternativo di affermare la domanda (la versione con semplici grafici non indirizzati) è: dati n numeri reali (in alcuni formati), decidere se esiste una matrice 0/1 simmetrica n × n con zero diagonali in modo che i suoi n autovalori siano i numeri dati.

— Tsuyoshi Ito,

@Yaroslav: Non ne sono sicuro, ma quel problema mi sembra più difficile del caso in cui vengono dati tutti gli autovalori.

— Tsuyoshi Ito,

Piccola osservazione: se non abbiamo restrizioni sugli autovalori, il problema è davvero difficile (anche se non includiamo la parte algoritmica) poiché ciò implica la (non) esistenza nel grafico di Moore a 57 regolari , di cui tutti gli autovalori sono noti.

— Hsien-Chih Chang 張顯之

Risposte:

Cvetcovic et tutte nella sezione 3.3 di "risultati recenti della teoria degli spettri grafico" va oltre gli algoritmi per la costruzione di grafici dato spettro in alcuni casi particolari

— Yaroslav Bulatov
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Anche chiedere se esiste un grafico con un determinato spettro è una domanda difficile. Ciò è testimoniato dal problema aperto di determinare se esiste un grafico della circonferenza 5 diametro 2 e ordine 3250 il cui spettro (se esiste) è noto.

— Jernej
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Un altro ostacolo nel definire la tua domanda è che sono grafici isospettrali (stessi autovalori) ma non isomorfi. Quindi, dato un elenco di autovalori in questo caso, quale grafico vuoi? Forse vuoi solo un algoritmo per restituire un elemento casuale dell'insieme di tali grafici non isomorfi?

— dabacon
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Stavo pensando a qualcosa sulla falsariga di campionamento dallo spazio dei grafici che sono isospettrali, ma sembra che stiamo rapidamente scendendo in un problema equivalente GI (quindi il mio commento sopra). Per semplicità, potremmo limitarci a tutti gli autovalori distinti (che, se IIC garantisce un grafico univoco), ma sto davvero solo cercando di vedere ciò che è noto o là fuori.

— user834,

Non credo che autovalori distinti assicurino la ricostruibilità, ecco alcuni spettri di grafici isospettrali su 7 nodi yaroslavvb.com/upload/save/cstheory-isospectral.png

— Yaroslav Bulatov

Mi piace la formulazione di elementi casuali. Sarei interessato a sapere se è equivalente a IG. Uno dei motivi per cui sono interessato alla formulazione di elementi casuali, è la domanda, sollevata nel mio articolo con Arora e Steurer su giochi unici, se i grafici con un certo spettro possono essere espansori per piccoli set. Intuitivamente, si può sperare che un grafico casuale con questo spettro sia il miglior espansore possibile per tutte le dimensioni impostate, e quindi l'intuizione sugli spettri inversi può essere utile lì.

— Boaz Barak,

@Yaroslav: Grazie per quel link e grazie per avermi corretto!

— user834

@ user834: Ri: il tuo commento su un problema equivalente GI. Si noti che la determinazione dell'isomorfismo di grafici con molteplicità di autovalori limitata (in particolare, grafici senza autovalori multipli) può essere eseguita in tempo polinomiale.

— Joshua Grochow,