La complessità di Kolmogorov delle tabelle di verità del problema dell'arresto è conosciuta asintoticamente?


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Sia HALTn la stringa di lunghezza 2n corrispondente alla tabella di verità del problema di arresto per input di lunghezza n .

Se la sequenza delle complessità di Kolmogorov K(HALTn) fosse O(1) , allora una delle stringhe di consigli verrebbe utilizzata all'infinito spesso e una TM con quella stringa codificata in modo rigido sarebbe in grado di risolvere HALT uniformemente infinitamente spesso, cosa che sappiamo non è il caso.

Un'analisi più approfondita dell'argomento della diagonalizzazione mostra in realtà che K(HALTn) è almeno nω(1) , quindi insieme al limite superiore banale, abbiamo:

nω(1)K(HALTn)2n+O(1)

Questo limite inferiore è notato nell'introduzione di un recente articolo di Fortnow e Santhanam `` Nuovi limiti inferiori non uniformi per le classi di complessità uniforme '' , e lo attribuiscono al folklore. Fondamentalmente, se la stringa di avviso è più corta della lunghezza di input, allora possiamo ancora diagonalizzare contro le macchine con al massimo quella quantità di consigli.

(Modifica: In realtà, in una versione precedente del documento lo hanno attribuito al folklore, immagino che ora dicano solo che è un adattamento di Hartmanis e Stearns.)

t


2n2ϵn2ϵn2ϵnP=BPP

K(HALTn)

K(HALTn)


Nota: c'è un altro bel post sulla complessità del circuito del problema di arresto, che può essere visto quasi al massimo da un argomento delineato da Emil Jerabek qui: /mathpro/115275/non-uniform-complexity -of-the-arrestare-problema

ENPNPHALT

K(HALTn)HALTHALTHALT2n2n

K(HALTn)

Oppure, c'è un limite superiore migliore che ho perso?

DTIMEK(HALTn), non c'è alcun tempo limitato, quindi forse abbiamo `` la stessa '' quantità di tempo dell'avversario e non dovremmo aspettarci che sia al massimo incomprimibile. Tuttavia, la diagonalizzazione funziona anche in un ambiente senza restrizioni: sembra che per qualsiasi macchina, ci sia una macchina che fa la stessa cosa di quella macchina e poi fa qualcos'altro, quindi c'è sempre qualcuno che ha più tempo di te. Quindi forse l'avversario ha sempre più tempo di noi dopo tutto ...

Risposte:


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Si scopre che in realtà esiste un limite superiore corrispondente che non è troppo difficile:

HALTnn2nn

Quindi, immagino che l'argomento folklore sia stretto qui. abbiamo

nω(1)K(HALTn)n+O(1)

K(HALTn)O(1)

nn

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