PPAD cattura davvero l'idea di trovare un altro vertice sbilanciato?

La classe di complessità PPAD è stata inventata da Christos Papadimitriou nel suo seminale articolo del 1994 . La classe è progettata per catturare la complessità dei problemi di ricerca in cui l'esistenza di una soluzione è garantita da "Argomento di parità nei grafici diretti": se c'è un vertice sbilanciato in un grafico diretto, allora deve esistere un altro. Ma di solito la classe è formalmente definita in termini di $\mathsf{ANOTHER\ END\ OF\ THE\ LINE}$ ( $\mathsf{AEOL}$) problema, in cui l'argomento viene applicato solo ai grafici con entrambi i livelli interno e inferiore $\le 1$ . La mia domanda è: perché queste nozioni sono equivalenti?

Fino a questo punto è un duplicato di questa domanda . Ora voglio formulare il problema formalmente e chiarire perché non sono soddisfatto della risposta lì.

Problema di ricerca $\mathsf{ANOTHER\ UNBALANCED\ VERTEX}$ ( $\mathsf{AUV}$ ): ci vengono dati due circuiti polinomiali $S$ e $P$ che ottengono $x\in\{0,1\}^n$ e restituisce un elenco polinomiale di altri elementi in $\{0,1\}^n$ . Questi circuiti definiscono un grafico diretto$G=(V,E)$ dove$V=\{0,1\}^n$ e$(x,y)\in E\Leftrightarrow (y\in S(x)\land x\in P(y))$ . Il problema di ricerca è il seguente: dati$S$ ,$P$ e$z\in V$ tali che$indegree(z)\ne outdegree(z)$ , trova un altro vertice con la stessa proprietà.

Problema di ricerca $\mathsf{AEOL}$ : lo stesso, ma sia $S$ che $P$ restituiscono un elenco vuoto o un elemento.

La nozione di riducibilità (corretta secondo il suggerimento di Ricky): il problema di ricerca totale $A$ è riducibile al problema di ricerca totale $B$ tramite funzioni polinomiali $f$ e $g$ se $y$ è una soluzione a $f(x)$ nel problema $B$ implica che $g(x,y)$ è una soluzione di $x$ in problema $A$ .

Domanda formale : perché $\mathsf{AUV}$ riducibile a $\mathsf{AEOL}$ ? O dovremmo usare un'altra nozione di riducibilità?

Christos Papadimitriou dimostra un analogo teorema su PPA (Teorema 1, pagina 505) ma l'argomento sembra non funzionare per PPAD . Il motivo è che un vertice con equilibrio dei gradi verrà trasformato in k vertici con equilibrio dei gradi ± 1 . Quindi l'algoritmo per A E O L può ottenere uno di questi vertici e restituirne un altro. Ciò non produrrebbe un nuovo vertice per A U V .$\pm k$$k$$\pm1$$\mathsf{AEOL}$$\mathsf{AUV}$

Le cose stanno peggiorando perché in c'è sempre un numero pari di vertici sbilanciati ma in A U V potrebbe essercene un numero dispari. Questo è il motivo per cui non si può costruire una biiezione tra questi due insiemi e g non può essere sempre uguale a f - 1 . Se g ( x , f ( x ) ) ≠ x allora otteniamo un metodo per risolvere A U V in tempo polinomiale almeno per alcuni casi. Se g non dipende da x e$\mathsf{AEOL}$$\mathsf{AUV}$$g$$f^{-1}$$g(x,f(x))\ne x$$\mathsf{AUV}$$g$$x$ per y 1 ≠ y 2 quindi y 2 può essere restituito come risposta per y 1 . Che non darebbe una soluzione A U V .$g(y_1)=g(y_2)$$y_1\ne y_2$$y_2$$y_1$$\mathsf{AUV}$

Domanda finale : gli ostacoli sopra elencati possono in qualche modo essere superati? Si può impiegare la possibile dipendenza di su x ?$g$$x$

I problemi si sono dimostrati equivalenti (e quindi completi in PPAD), vedere la Sezione 8 in The Hairy Ball Problem è PPAD-Complete di Paul W. Goldberg e Alexandros Hollender .

Questa è una domanda interessante e posso solo dare una risposta parziale.

È facile vedere che la costruzione a pag. 505 dell'articolo di Papadimitriou mostrano l'equivalenza di AUV con il suo caso speciale

MOLTE FINE DELLA LINEA (MEOL): Dato un grafico diretto con in-gradi e out-gradi al massimo 1 (rappresentato da circuiti come sopra), e un insieme non vuoto X di fonti di G , trova un sink o una sorgente v ∉ X .$G$$1$$X$$G$$v\notin X$

Da un lato, trovo difficile immaginare una trasformazione di tali grafici che potrebbe ridurre a un numero maggiore di fonti.

Tuttavia, d'altra parte, MEOL appartiene a tutte le classi comunemente studiate contenenti PPAD tranne forse PPAD stesso:

Innanzitutto, ovviamente,

MEOL è in PPADS .

Schizzo di seguito un argomento che

MEOL è in PPA

$G=(V,E)$$X$

$|X|$$X$$X$

$s=|X|$$2^k$$2$$s$$G'=(V',E')$$2^k$$V$$A,B\in V'$$(A,B)$$E'$$A=\{a_0,\dots,a_{2^k-1}\}$$B=\{b_0,\dots,b_{2^k-1}\}$$(a_i,b_i)\in E$$i<2^k$

$G'$$1$$A\in V'$$G$$A$$A\cap X\ne\varnothing$$1$

$A$$t=|A\cap X|$$0<t\le2^k$$t=2^k=|A|$$A\subseteq X$$\binom{s}{2^k}$$p$$\binom ab$$b+(a-b)=a$$p$$k$$\binom{s}{2^k}$$[0,\binom ab)$$b$$[0,a)$$2^k$$X$$t=2^k$$1$

$0<t<2^k$$\binom st$$t$$X$$A$$|A\cap X|=t$$A\cap X$$A\smallsetminus X$

In questo modo, produciamo un grafico non orientato con un vertice foglia noto. Chiediamo all'oracolo PPA un'altra foglia e, per costruzione, possiamo ricavarne una risposta per l' istanza MEOL .

$p$$p$$p$

$p$$G$${}\not\equiv0\pmod p$

$p$$p$

$2$$p$

$p=2$

$p$$p$