Decidere se cambiare una voce riduce il permanente di una matrice nella gerarchia polinomiale?

Considera il seguente problema: data una matrice , indici e un numero intero . Sostituire da e chiamare nuova matrice . Is $M\in\{-m,\dots,0,\dots,m\}^{n\times n}$ $i,j\in\{1,\dots,n\}$ $a$ $M[i,j]$ $a$ $\hat M$ ? $per(M)>per(\hat M)$

È questo problema nella gerarchia polinomiale?

permanent

— T ....
fonte

Può essere risolto con due chiamate a un oracolo #P ... Se fosse in PH, ciò implicherebbe che anche PP è in PH ... Tuttavia, se PP è in PH, allora PH collassa. Quindi penso che sia improbabile che sia in PH.

— Tayfun paga il

@TayfunPay Non penso che l'argomento sia corretto. Il problema può essere risolto con 2 chiamate a #P, ma non può essere escluso così facilmente che esiste un algoritmo più semplice che potrebbe mostrare che è in PH. Dovresti mostrare che è difficile per #P per questo, ad esempio riducendo Permanent ad esso.

— Jan Johannsen,

Se si collega la definizione di permanente e si semplifica la risultante disuguaglianza, il problema si riduce alla domanda se il permanente di una data matrice (n-1) -by- (n-1) sia strettamente positivo.

— Gamow,

@Gamow, e viceversa, cioè decidere se

può essere ridotto a questo problema. Data una matrice

, costruisci

aggiungendo una linea in alto e una colonna a sinistra con un 1 nell'angolo in alto a sinistra e 0 altrimenti. Ora lascia che

sia la matrice

cui la voce in alto a sinistra è stata sostituita da

. Quindi

P E R (M) > 0

$PER(M) > 0$

M

$M$

M^{'}

$M'$

M^{″}

$M''$

M^{'}

$M'$

- 1

$-1$

per multilinearità e sviluppo della prima colonna. Quindi

iff il problema di Turbo su

ritorna vero.

P E R (M^{″}) = - P E R (M^{'}) = - P E R (M)

$PER(M'') = -PER(M') = -PER(M)$

P E R (M) > 0

$PER(M) > 0$

M^{'}

$M'$

(i, j) = (0, 0)

$(i,j) = (0,0)$

a = - 1

$a = -1$

— lupo,

@holf: penso che dovresti pubblicare questo come risposta. Risponde piuttosto definitivamente alla domanda, e quindi la domanda non apparirà più come "senza risposta".

— Joshua Grochow,

Il tuo problema è equivalente al test, dato $M$ , se $PER(M) > 0$ .

Prova : supponiamo che ti venga dato $M$ e desideri decidere se $PER(M) > 0$ . Costruiamo $M'$ come segue:

[\begin{matrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 \\ \dots & M \\ 0 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & & & & \\ \dots & & M & &\\ 0 & & & & \end{bmatrix}$ È facile vedere che

P E R (M) = P E R (M^{'})

$PER(M) = PER(M')$ . Ora, definiamo

\hat{M^{'}}

$\hat{M'}$ come

M^{'}

$M'$ dove sostituiamo la voce

(0, 0)

$(0,0)$ di

M^{'}

$M'$ con

- 1

$-1$ . Per multilinearità, ne consegue che

P E R (M) = P E R (M^{'}) = - P E R (\hat{M^{'}})

$PER(M) = PER(M') = -PER(\hat{M'})$ . Quindi

P E R (M) > 0

$PER(M) > 0$ se e solo se

P E R (M^{'}) > P E R (\hat{M^{'}})

$PER(M') > PER(\hat{M'})$ .

$M$ $(i,j)$ $a$ $\hat{M}$ $M[i,j]$ $a$

\begin{aligned} P E R (M) > & P E R (\hat{M}) iff \\ \sum_{σ} \prod_{k = 1}^{n} M [k, σ (k)] > & \sum_{σ} \prod_{k = 1}^{n} \hat{M} [k, σ (k)] iff \\ \sum_{σ, σ (i) = j} M [i, j] \prod_{k \neq i}^{n} M [k, σ (k)] > & \sum_{σ, σ (i) = j} a \prod_{k \neq i}^{n} M [k, σ (k)] iff \\ (M [i, j] - a) \cdot \sum_{σ, σ (i) = j} \prod_{k \neq i}^{n} M [k, σ (k)] > & 0 iff \\ (M [i, j] - a) \cdot P E R (M^{'}) > 0 \end{aligned}

$\begin{align} PER(M) > & PER(\hat{M}) \text{ iff} \\ \sum_{\sigma} \prod_{k=1}^n M[k,\sigma(k)] > &\sum_{\sigma} \prod_{k=1}^n \hat{M}[k,\sigma(k)] \text{ iff} \\ \sum_{\sigma, \sigma(i)=j} M[i,j] \prod_{k \neq i}^n M[k,\sigma(k)] > &\sum_{\sigma, \sigma(i)=j} a \prod_{k \neq i}^n M[k,\sigma(k)] \text{ iff}\\ (M[i,j]-a) \cdot \sum_{\sigma, \sigma(i)=j} \prod_{k \neq i}^n M[k,\sigma(k)] > & 0 \text{ iff}\\ (M[i,j]-a) \cdot PER(M') > 0 \end{align}$

$M'$ $(n-1) \times (n-1)$ $M$ $i$ $j$ $\square$

— holf
fonte

Buona risposta, ma probabilmente vale la pena dichiarare esplicitamente anche la risposta alla domanda del PO.

— Stella Biderman,