Numero di DFA minimi di dimensione al massimo

Sia un alfabeto di dimensione e considera i DFA minimi la cui dimensione è limitata al massimo da . Lascia che indichi il numero di diversi DFA minimi simili. $\Sigma$ $2$ $m$ $f(m)$

Possiamo trovare una formula in forma chiusa per ? $f(m)$

Considerando che per la funzione di transizione di un DFA di dimensioni al massimo è un grafico. Poiché il grado dei nodi è limitato da , per ogni nodo ci sono possibilità di coppie di archi (come suggerito nei commenti). In questo grafico ci sono al massimo possibili scelte di stato iniziale e al massimo possibili scelte di stati finali. Pertanto, il numero massimo di DFA di dimensioni al massimo è $|\Sigma|=2$ $m$ $2$ $m^2$ $m$ $2^m$ $m$ . $f(m) \leq m^{2m}\cdot m\cdot2^m = 2^m\cdot m^{2m+1}$

Possiamo generalizzare ad un alfabeto arbitrario : il limite diventa . $\Sigma$ $f(m) \le 2^m\cdot m^{|\Sigma|m+1}$

Ma qui abbiamo limitato DFA arbitrari e sono interessato a limitare il numero di DFA minimi. Quindi, sembra che questo limite potrebbe essere più stretto ... Qualcuno ha una stima migliore?

Gradirei, se possibile, alcuni documenti relativi a questo problema o una prova / contro-esempio.

— Luz
fonte

Non penso che il limite superiore sia corretto. Sembra che dovrebbe essere

, piuttosto che

. Per ogni nodo, considera i due archi che escono da quel nodo; ci sono

possibilità per dove va il primo arco e

possibilità per dove va il secondo arco, quindi

possibilità in totale. Ci sono nodi

, quindi otteniamo

f (m) \leq m \times 2^{m} \times m^{2 m}

$f(m) \le m \times 2^m \times m^{2m}$

f (m) \leq m \times 2^{m} \times 2^{2 m}

$f(m) \le m \times 2^m \times 2^{2m}$

m

$m$

m

$m$

m^{2}

$m^2$

m

$m$

possibilità per l'insieme di archi. La generalizzazione sarebbe

(m^{2})^{m} = m^{2 m}

$(m^2)^m = m^{2m}$

f (m) \leq m \times 2^{m} \times m^{| Σ | m}

$f(m) \le m \times 2^m \times m^{|\Sigma| m}$

— DW

Ecco un riferimento che può essere pertinente: "SUL NUMERO DI LINGUE DISTINTE ACCETTATE DA

— FINITE AUTOMATA

Grazie a tutti e due per aver corretto il mio errore e avermi dato questo riferimento che è davvero pertinente.

— Luz,

Risposte:

Secondo Ishigami Y., Tani S. (1993) Le dimensioni VC degli automi finiti con n stati, http://link.springer.com/chapter/10.1007/3-540-57370-4_58 , la dimensione VC di la classe di concetti di DFA su un alfabeto di dimensione è Ne consegue che ci sono almeno automi distinti su una $n$ $k$

d = d (n, k) := (k - 1 + o (1)) n \log_{2} n .

$d=d(n,k) := (k-1+o(1))n\log_2 n.$

2^{d}

$2^d$

n

$n$

k

$k$ -alfabeto a lettere. Il limite superiore del numero di tali automi deriva da un semplice argomento di conteggio (indicato nel documento), ed è al massimo

2^{d}

$2^d$

— Aryeh
fonte

m^{(| Σ | - 1 + o (1)) m}

$m^{(|\Sigma| - 1 + o(1)) m}$

m

$m$

Penso che contino anche i DFA minimi, dal momento che la dimensione VC è indipendente dalla rappresentazione, in realtà sta contando linguaggi distinti , che corrispondono ai DFA minimi.

— Aryeh,

(m - 1)!

$(m-1)!$

(m - 1)!

$(m-1)!$

m^{m}

$m^m$

In effetti, se guardi la prova di Thm. 3.2 nel documento che ho collegato, vedrai l'espressione esatta nel denominatore.

— Aryeh,

(NB: il limite superiore indicato nella risposta accettata è migliore o uguale a quello indicato qui)

In questo articolo è stato proposto un limite superiore riportato in uno dei commenti precedenti: " Sul numero di lingue distinte accettate da automi finiti con n stati " (2002, M. Domaratzki, D. Kisman, J. Shallit) .

In questo documento:

$f_{|\Sigma|}(m)$ $m$ ${|\Sigma|}$
$g_{|\Sigma|}(m)$ $m$ ${|\Sigma|}$

$g_{|\Sigma|}(m)$ $m$ $m$

$6$ $8$ $g_{|\Sigma|}(m) \leq \frac{2^m\cdot m^{|\Sigma|m}}{(m-1)!}$ $2^m\cdot m^{|\Sigma|m+1}$

$f_{|\Sigma|}(m)$

— Luz
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