Estensioni del teorema di Ramsey: monocromatico ma diverso

Come seguito della mia precedente domanda , che è stata risolta da Hsien-Chih Chang, ecco un altro tentativo di trovare un'adeguata generalizzazione del teorema di Ramsey. (Non è necessario leggere la domanda precedente; questo post è autonomo.)

Parametri: vengono indicati numeri interi $1 \ll d \ll k \ll n$ , quindi $N$ viene scelto per essere sufficientemente grande. Terminologia: un $m$ -subset è un sottoinsieme di dimensioni $m$ .

Sia . Per ogni k -subset S ⊂ B , assegnare un colore f ( S ) ∈ { 0 , 1 } .$B = \{1,2,...,N\}$$k$$S \subset B$$f(S) \in \{0,1\}$

definizioni:

• èmonocromaticase f ( S ) = f ( S ' ) per tutti k -subsets S ⊂ X e S ' ⊂ X .$X \subset B$$f(S) = f(S')$$k$$S \subset X$$S' \subset X$
• èdiversase X = { x 1 , x 2 , . . . , x n } tale che x i < x i + 1 e x $X \subset B$$X = \{ x_1, x_2, ..., x_n \}$$x_i < x_{i+1}$ per tutti i .$x_i\,\not\equiv x_{i+1} \text{ mod } d$$i$

Ad esempio, se , allora { 12 , 15 , 23 , 32 , 39 } è diverso ma { 12 , 15 , 25 , 32 , 39 } non lo è. Si noti che un sottoinsieme di un insieme diverso non è necessariamente diverso.$d = 10$$\{ 12, 15, 23, 32, 39 \}$$\{ 12, 15, 25, 32, 39 \}$

Ora il teorema di Ramsey dice che, indipendentemente da come scegliamo , esiste un n -subset X monocromatico B ⊂ . E ovviamente è banale per trovare una diversa n -subset X ⊂ B .$f$$n$$X \subset B$$n$$X \subset B$

Domanda: esiste sempre un n -subset X ⊂ B diverso e monocromatico ?$n$$X \subset B$

Modifica: Hsien-Chih Chang mostra che l'affermazione è falsa per un primo , ma che dire del composito d ? Nelle mie applicazioni, avrò molta libertà nella scelta dei valori esatti di d ≪ k ≪ n , purché riesca a renderli arbitrariamente grandi. Possono essere poteri di numeri primi, prodotti di numeri primi o qualsiasi cosa sia necessaria per rendere vera l'affermazione.$d$$d$$d \ll k \ll n$

Innanzitutto devo dire: questo problema è davvero interessante !! E qui descrivo brevemente perché i miei precedenti approcci sono falliti, come suggerito in questo meta post sulle risposte errate.

• Il mio primo tentativo è stato quello di provare a costruire una colorazione correlata al sottoinsieme del sottoinsieme k che rende tutti i sottoinsiemi non monocromatici. Lemma 1 è ancora disponibile; ma Lemma 2 aveva torto, osservando che se k e d sono correlati primi, allora un n-sottoinsieme nel modulo d suggerito da @Jukka è un contro-esempio.$\{1,3,1,3, \ldots\}$

• Il secondo tentativo fu una prova del teorema; contando il rapporto di gruppi diversi e monocromatici , speriamo che il numero di quelli monocromatici supererà quelli di quelli non diversi. Ma c'è un errore nei miei calcoli, osservato da @domotorp: il rapporto tra l'essere non diversi non si avvicina allo zero; converge a circa n / d , che è chiaramente più grande di R ( n , n ; k ) - n .$n$$n/d$$R(n,n;k)^{-n}$

• Il terzo ritorna al primo metodo e mostra che per un set di parametri estremamente debole ( e d ∣ k ), il teorema è falso. Abbiamo usato un famoso lemma nella combinatoria additiva: il teorema EGZ.$n > k+d-1$$d \mid k$

Il quarto tentativo è dovuto alla risposta di @domotorp; è intelligente e stimolante e proverò a modificare la sua prova per gestire tutti i parametri. Ma il suo metodo è ancora elegante e apprezzo molto questo approccio semplice.

Un diverso set n contiene almeno un sottoinsieme k con almeno "switch tra classi mod"; precisamente, sia X = x 1 , … , x n un diverso set n, e sia S ∗ = x 1 , … , x k , viene definito un interruttore se x i e x i + 1 sono in mod-d differenti classi. Abbiamo interruttori k-1 per S ∗ .$k-1$$X = x_1,\ldots,x_n$$S^* = x_1,\ldots,x_k$$x_i$$x_{i+1}$$S^*$

Lascia che un sottoinsieme k sia rosso se S ha al massimo interruttori k-2; altrimenti è blu . Nel paragrafo precedente ne avevamo già uno blu, ora dimostriamo che per n > k + d + 1 , c'è una S rossa in qualsiasi X set di n . Dato che n > d , ci sono due numeri x i , x j nella stessa classe mod-d e j - i ≤ d - 1 ; e poiché n > k + $S$$S$$n > k+d+1$$S$$X$$n > d$$x_i,x_j$$j-i \leq d-1$ , ci sono almeno k-2 elementi x k in X con k < i o k > j . E possiamo costruire un sottoinsieme k S con x i vicino a x j , che cambia solo al massimo k-2 volte. Quindi S è un sottoinsieme k rosso.$n > k+d+1$$x_k$$X$$k<i$$k>j$$S$$x_i$$x_j$$S$

Potrei aver frainteso la tua domanda, ma in caso contrario, penso che sia falso. Colora i set di k i cui membri sono tutti congruenti modulo d con il rosso, gli altri set di k con il blu. Se n> kd, qualsiasi n-set deve contenere un k-set i cui membri sono tutti congruenti modulo d ed è quindi rosso. D'altra parte, se un set di k contiene due elementi consecutivi di un diverso set di n, allora è blu.