Gerarchie temporali in DSPACE (O (s (n)))

Il teorema della gerarchia temporale afferma che le macchine turing possono risolvere più problemi se hanno (abbastanza) più tempo. Tiene in qualche modo se lo spazio è limitato asintoticamente? In che modo $\textrm{DTISP}(g(n), O(s(n)))$ si a DTISP ( f ( n ) , O ( s ( n ) ) $\textrm{DTISP}(f(n), O(s(n)))$ se $\frac{f}{g}$ cresce abbastanza velocemente?

Sono particolarmente interessato al caso che $s(n) = n$ , $g(n) = n^3$ e $f(n) = 2^n$ .

In particolare, ho considerato la seguente lingua: $L_k := \{ (\langle M \rangle, w) \; : \; \text{M rejects } (\langle M \rangle, w) \text{ using at most } |\langle M \rangle, w|^3 \text{ time steps},$ $k * |\langle M \rangle, w| \text{ cells and four different tape symbols} \}$

Tuttavia, $L_k$ può essere deciso in $n^3$ passaggi usando $(k+1)n \in O(n)$ spazio.

Senza limitare $M$ a quattro simboli nastro e quindi consentire di comprimere $O(n)$ celle in $n$ celle, si ottengono problemi di spazio quando si simula una $M$ con troppi simboli nastro. In questo caso, la lingua non è più in $\text{DSPACE}(O(n))$ . Lo stesso accade quando si imposta $k = h(|w|)$ per alcune $h$ che possono essere calcolate abbastanza velocemente.

Questa domanda è sostanzialmente una riformulazione della mia domanda qui .

Modifica riepilogo: Cambiato per DTISP ( f ( n ) , s ( n ) ) , tuttavia, penso che l'incrocio è anche la pena di pensare.$\textrm{DSPACE}(s(n)) \cap \textrm{DTIME}(f(n))$$\textrm{DTISP}(f(n), s(n))$

$\mathrm{DTISP}(O(n \log n),O(n)) = \mathrm{DSPACE}(O(n))$$\mathrm{NSPACE}(O(n))$$\mathrm{DTIME}(O(n))⊆\mathrm{DSPACE}(O(n/\log n))$

Tuttavia, in base a plausibili congetture sulla complessità computazionale, esiste una gerarchia adeguata. Ad esempio, se per ogni , CIRCUIT-SAT ∉ io- , allora dove , è e è costruibile spazio-tempo.O ( 2 n - ε ) D T I S P ( O ( f ) , O ( s ( n ) ) ) ⊊ D T I S P ( O ( f 1 + ε ) , O ( s ( n ) ) ) f ( n ) ≥ n f ( $ε>0$$O(2^{n-ε})$$\mathrm{DTISP}(O(f),O(s(n))) ⊊ \mathrm{DTISP}(O(f^{1+ε}),O(s(n)))$
$f(n)≥n$$f(n)$$2^{o(\min(n,s(n)))}$$f$

In particolare (sotto l'ipotesi), l'esistenza di un'assegnazione soddisfacente per circuiti con input e dimensioni serve come controesempio dell'uguaglianza delle classi.$⌊\mathrm{lg}(f^{1+ε/2})⌋$$(\log f)^{O(1)}$

Appunti:

• CIRCUIT-SAT è difficile almeno quanto -SAT (che viene utilizzato nell'ipotesi del forte tempo esponenziale).$k$

• Per convenzione, in CIRCUIT-SAT, è il numero di fili di ingresso; la dimensione del circuito è .$n$$n^{O(1)}$

• Se il presupposto utilizzava CIRCUIT-SAT per le dimensioni del circuito quasilineare, il limite su può essere rilassato su . Inoltre, ipotesi più deboli / più forti sulla durezza di CIRCUIT-SAT danno gerarchie più deboli / più forti (che attualmente possiamo provare).$f(n)$$O((2-ε)^{\min(n,s(n))})$

• io significa infinitamente spesso e può essere lasciato cadere per che sono in un certo senso continui (incluso ).f ( n ) = n $f$$f(n)=n^a$

• Sembra probabile che la gerarchia DTISP sia abbastanza nitida da distinguere da (e forse ) (quando non è troppo grande rispetto allo spazio consentito).o ( f / log f ) o ( f ) $O(f)$$o(f/\log f)$$o(f)$$f$

• Per distinguere da , abbiamo solo bisogno dell'assunto più debole P ≠ PSPACE.2 $n^a$$2^n$