La prova 2017 di Norbert Blum è corretta per ?

Norbert Blum ha recentemente pubblicato una dimostrazione di 38 pagine che . È corretto?$P \ne NP$

Anche sull'argomento: dove altro (su Internet) viene discussa la sua correttezza?

Nota: il focus di questo testo della domanda è cambiato nel tempo. Vedi i commenti alle domande per i dettagli.

Come notato qui prima, l'esempio di Tardos smentisce chiaramente la prova; dà una funzione monotona, che concorda con CLIQUE su T0 e T1, ma che si trova in P. Questo non sarebbe possibile se la dimostrazione fosse corretta, poiché la dimostrazione si applica anche a questo caso. Tuttavia, possiamo individuare l'errore? Ecco, da un post sul blog di Lipton, quello che sembra essere il luogo in cui la prova fallisce:

Il singolo errore è un punto sottile nella dimostrazione del Teorema 6, vale a dire nella fase 1, pagina 31 (e anche 33, dove viene discusso il caso duale) - affermazione apparentemente ovvio che contiene tutte le clausole corrispondenti contemplate ecc., Sembra sbagliato. C N F ′ ( g $C'_g$$CNF'(g)$

Per spiegarlo in modo più dettagliato, dobbiamo entrare nel metodo di prova e approssimazione di Berg e Ulfberg, che riafferma la prova originale di Razborov della complessità monotona esponenziale per CLIQUE in termini di switch DNF / CNF. Ecco come lo vedo io:

Per ogni nodo / gate di un circuito logico (contenente solo porte binarie OR / AND), una forma normale congiuntiva , una forma normale disgiuntiva e gli approssimatori e sono allegato. e sono semplicemente le corrispondenti forme normali congiuntive e congiuntive dell'uscita del gate. e sono anche forme disgiuntive e congiuntive, ma di alcune altre funzioni, "avvicinano" l'uscita del gate. Sono tuttavia tenuti ad avere un numero limitato di variabili in ciascun monomiale perβ C N F ( g ) D N F ( g ) C k g D r g C N F D N F D r g C k g D r g C k $g$$\beta$$CNF(g)$$DNF(g)$$C^k_g$$D^r_g$$CNF$$DNF$$D^r_g$$C^k_g$$D^r_g$(minore di una costante r) e in ciascuna clausola per (minore di una costante k).$C^k_g$

Si ipotizza un "errore" introdotto con questa approssimazione. Come viene calcolato questo errore? Siamo interessati solo ad alcuni set T0 di input su cui la nostra funzione totale assume valore 0, e T1 di input su cui la nostra funzione totale assume valore 1 (una "promessa"). Ora ad ogni cancello, ci si limita a questi ingressi da T0 e T1, che sono correttamente calcolati (sia e , che rappresentano la stessa funzione - uscita della porta in ) all'uscita cancello e guarda quanti errori / errori ci sono per eC N F ( g ) g β C k g D r g C k g D r g C k g C k g D r $DNF(g)$$CNF(g)$$g$$\beta$$C^k_g$$D^r_g$rispetto a quello. Se il gate è una congiunzione, allora l'uscita del gate potrebbe calcolare correttamente più ingressi da T0 (ma gli ingressi correttamente calcolati da T1 potrebbero essere ridotti). Per , che è definito come una semplice congiunzione, non vi sono tuttavia nuovi errori su tutti questi input. Ora, è definito come uno switch CNF / DNF di , quindi potrebbero esserci numerosi nuovi errori su T0, provenienti da questo switch. Anche su T1 non ci sono nuovi errori su - ogni errore deve essere presente su uno degli ingressi del gate e, analogamente su , l'interruttore non introduce nuovi errori su T1. L'analisi per OR gate è doppia.$C^k_g$$D^r_g$$C^k_g$$C^k_g$$D^r_g$

Quindi il numero di errori per gli approssimatori finali è limitato dal numero di gate in , moltiplicato per il numero massimo possibile di errori introdotto da uno switch CNF / DNF (per T0) o da uno switch DNF / CNF (per T1). Ma il numero totale di errori deve essere "grande" in almeno un caso (T0 o T1), dal momento che questa è una proprietà di forme normali congiuntive positive con clausole delimitate da , che era l'intuizione chiave della dimostrazione originale di Razborov (Lemma 5 nel documento di Blum).$\beta$$k$

Quindi cosa ha fatto Blum per gestire le negazioni (che sono spinte al livello degli input, quindi il circuito contiene ancora solo porte binarie OR / AND)?$\beta$

La sua idea è quella di preformare gli switch CNF / DNF e DNF / CNF in modo restrittivo, solo quando tutte le variabili sono positive. Quindi gli interruttori funzionerebbero ESATTAMENTE come nel caso di Berg e Ulfberg, introducendo la stessa quantità di errori. Si scopre che questo è l'unico caso che deve essere considerato.

Quindi, segue le linee di Berg e Ulfberg, con alcune distinzioni. Invece di collegare , , e a ciascuna porta del circuito , collega le sue modifiche, , , e , cioè le forme normali disgiuntive e congiuntive "ridotte", che ha definito diverso da eD N F ( g ) C k g D r g g β C N F ′ ( g ) D N F ′ ( g ) C ′ k g D ′ r g C N F ( g ) D N F ( g ) C ′ r $CNF(g)$$DNF(g)$$C^k_g$$D^r_g$$g$$\beta$$CNF'(g)$$DNF'(g)$${C'}^k_g$${D'}^r_g$$CNF(g)$$DNF(g)$per "regola dell'assorbimento", rimuovendo le variabili negate da tutti i monomi / clausole misti (usa anche per questo scopo operazione indicata da R, rimuovendo del tutto alcuni monomi / clausole; come abbiamo discusso prima, la sua definizione un po 'informale di R non è davvero il problema , R può essere reso preciso in modo che venga applicato a ciascun gate ma ciò che viene rimosso dipende non solo dai due ingressi precedenti ma dall'intero circuito che porta a quel gate) e dai loro approssimatori e , che ha anche introdotto.${C'}^r_g$${D'}^r_g$

Conclude, nel Teorema 5, che per una funzione monotona, e ridotti calcoleranno realmente 1 e 0 sugli insiemi T1 e T0, nel nodo radice (il cui output è l'output dell'intera funzione in ). Questo teorema è, credo, corretto. D N F ′ g 0$CNF'$$DNF'$$g_0$$\beta$

Ora arriva il conteggio degli errori. Credo che gli errori in ciascun nodo debbano essere calcolati confrontando e ridotti (che ora sono probabilmente due diverse funzioni), a e come li ha definiti. Le definizioni di approssimatori definiscono le definizioni di e (Fase 1) quando mescolano le variabili con quelle negate, ma quando si occupa di variabili positive, usa l'interruttore come nel caso di Berg e Ulfberg (Fase 2). E in effetti, nel passaggio 2 introdurrà lo stesso numero di possibili errori di prima (è lo stesso interruttore e tutte le variabili coinvolte sono positive).D N F ′ ( g ) C ′ r g D ′ k g C N F ′ D N F $CNF'(g)$$DNF'(g)$${C'}^r_g$${D'}^k_g$$CNF'$$DNF'$

Ma la prova è sbagliata nel passaggio 1. Penso che Blum stia confondendo , , che provengono davvero, come li ha definiti, dai precedenti approssimatori (per cancelli , ), con parti positive di e . C'è una differenza, e quindi la frase " contiene ancora tutte le clausole contenute in prima dell'approssimazione del gate g che usa una clausola in o " sembra essere sbagliato in generale.γ 2 h 1 h 2 C N F ′ β ( h 1 ) C N F ′ β ( h 2 ) C ′ g C N F ′ β ( g ) γ ′ 1 γ ′ $\gamma_1$$\gamma_2$$h_1$$h_2$$CNF'_\beta(h_1)$$CNF'_\beta(h_2)$$C_g'$$CNF'_\beta(g)$$\gamma_1'$$\gamma_2'$

Conosco Alexander Razborov, il cui lavoro precedente è estremamente cruciale e funge da base per la dimostrazione di Blum. Ho avuto la fortuna di incontrarlo oggi e non ho perso tempo nel chiedere la sua opinione su tutta questa faccenda, se avesse visto o meno la prova e quali fossero i suoi pensieri in merito se lo avesse fatto.

Con mia sorpresa, rispose che in effetti era a conoscenza del documento di Blum ma all'inizio non gli importava di leggerlo. Ma dato che gli fu data più fama, ebbe la possibilità di leggerlo e rilevò immediatamente un difetto: vale a dire che i ragionamenti forniti da Berg e Ulfberg valgono perfettamente per la funzione di Tardos, e dato che è così, la prova di Blum è necessariamente errato in quanto contraddice il nucleo del Teorema 6 nel suo documento.

Questo è pubblicato come risposta della comunità perché (a) non sono parole mie, ma una citazione di Luca Trevisan su una piattaforma di social media o di altre persone senza account CSTheory.SE; e (b) chiunque dovrebbe sentirsi libero di aggiornarlo con informazioni aggiornate e pertinenti.

Citando Luca Trevisan da un post di Facebook pubblico (14/08/2016), rispondendo a una domanda su questo articolo fatto da Shachar Lovett :

La funzione di Andreev, che si afferma abbia una complessità del circuito superpolinomiale (astratto, quindi sezione 7), è solo un'interpolazione polinomiale univariata in un campo finito, che, se non mi manca qualcosa, è risolvibile con l'eliminazione gaussiana

In realtà, questo non è necessariamente un punto in cui la prova fallisce; Luca ha quindi risposto al seguente (15/08/2017), dopo una domanda relativa al commento di Andrew di seguito:

Hai ragione, ragazzi, ho frainteso la definizione della funzione di Andreev: non è chiaro che si riduce all'interpolazione polinomiale

Karl Wimmer ha commentato il punto sollevato da Gustav Nordh (riprodotto con il permesso di Karl):

Per aggiungere ciò, non vedo perché, dai primi due paragrafi della dimostrazione del Teorema 5, possiamo concludere che calcola . Vedo solo una sorta di unilaterale che calcola una funzione tale che implica che anche questa funzione è 1.f D N F ′ ( g 0 ) f = $\mathrm{DNF'}(g_0)$$f$$\mathrm{DNF'}(g_0)$$f = 1$

Il terzo paragrafo non mi aiuta neanche: sicuramente e il suo interruttore DNF / CNF calcolano la stessa funzione, ma non segue immediatamente che l'interruttore DNF / CNF calcola (perché potrebbe non farlo), quindi non possiamo trarre alcuna conclusione sulle clausole.$\mathrm{DNF'}(g_0)$$f$$\mathrm{DNF'}(g_0)$$f$

(A parte: questa unicità è coerente con l'esempio di Gustav sopra.)

Da un punto di vista diverso, sicuramente una rete standard che calcola una funzione monotona potrebbe calcolare funzioni non monotone su nodi interni. Il teorema 5 non si applica alle funzioni non monotone, quindi potrebbe non calcolare correttamente la sottofunzione nella rete il cui nodo di output è (che accadrà per molte funzioni non monotone). Per questo , non sono convinto che questa costruzione induttiva di sarà necessariamente corretta alla fine.$\mathrm{DNF'}(g)$$g$$\mathrm{DNF'}(g_0)$

Se sono totalmente fuori base, per favore fatemi sapere!

Da un utente anonimo, in risposta al punto di Karl:

DNF 'e CNF' sono solo DNF e CNF per f, in cui vengono eseguite cancellazioni di letterali opposti, riducendole quindi in forma più breve. Questo è anche spiegato nel documento, ed è piuttosto ingombrante dalla definizione, ma è quello che è. Il teorema 5 non è il problema, la carne è nel teorema 6.

E la risposta di Karl (che riproduco di nuovo qui):

Vedo cosa sta dicendo anon (grazie!); il mio commento non ha affrontato correttamente la mia confusione. Se è monotono e calcolato in , è bene prendere , applicare l'assorbimento e l' operatore , e il risultante rappresenta . Usando questa costruzione "one-shot", il Teorema 5 va bene - su Teorema 6. Ho analizzato questa definizione di$f$$g_0$$\mathrm{DNF}(g_0)$$R$$\mathrm{DNF'}(g_0)$$f$$\mathrm{DNF'}(g_0)$

Quello che non riesco a capire è perché la costruzione applica-assorbimento-e- -come-tu-vai di gate-by-gate di alle pagine 27-28 fa la stessa cosa. Ciò sembra necessario per il funzionamento dell'analisi gate-by-gate nel Teorema 6, a meno che non si tenga conto dell'errore di questa costruzione. Voglio dire, non tutte le funzioni possono nemmeno essere rappresentate da un DNF con termini con solo valori letterali non negati o negati, ma per ogni nodo , sembra avere sempre questa forma. Cosa succede se nella mia rete è presente un nodo tale che non ha tale rappresentazione?$R$$\mathrm{DNF'}(g_0)$$g$$\mathrm{DNF'}(g)$$g$$\mathrm{res}(g)$

(Un altro piccolo punto (?): Non vedo cosa fa nella costruzione gate-by-gate as-you-go; in 1.-4., Sembra che sia già la costruzione DNF standard, ma con assorbimento e applicati.)$R$$\alpha$$R$

(risposta da un punto di vista) Concordo sul fatto che la vaghezza nella definizione di R potrebbe essere un problema nella sezione 6. R non è esplicitamente definita e, a meno che la sua azione non dipenda in qualche modo dall'intero DNF (e non dai valori di DNF 'alle porte induttivamente) , potrebbe esserci un problema. La dimostrazione di Deolalikar aveva un problema simile: due diverse definizioni erano confuse. Qui, almeno sappiamo cosa si intende per DNF ', e se questo è l'origine del problema nella sezione 6, può essere facile da rintracciare. Non sono ancora entrato nella sezione 6, tuttavia, richiede una comprensione da parte degli approssimatori di Berg e Ulfberg descritti nella sezione 4, in definitiva relativa alla costruzione di Razborov del 1985, il che non è facile.

Spiegazione del funzionamento di R:

Quando R viene applicato in qualche passaggio, annulla solo i termini che, IN QUESTO PASSO, conterrebbero letterali opposti (potrebbe essere necessario tenere traccia dei letterali negativi). Ad esempio, consente di valutare come prima, per calcolare DNF 'al primo nodo AND, otteniamo prima di applicare R , ma dopo aver applicato R perdiamo la prima dalla prima parentesi e otteniamo (dove la prima potrebbe avere NOT virtuale se la stessimo monitorando) . Quindi applicare il secondo AND, per ottenere

$$(x\lor y) \land (\lnot x \lor y) \land (x \lor \lnot y)$$ $$((x\lor y) \land (\lnot x \lor y))\land (x \lor \lnot y)$$ $$(x\lor y) \lor ((x\land y)\lor (y\land y))$$ $x$ $$(y) \lor (x\land y)\lor (y),$$ $y$$x$ $$((y) \lor (x\land y)\lor (y)) \lor ((x\land y)\lor (x\land y) \lor (x\land y)),$$ ma poi R rimuove il intera prima parentesi perché ha virtuale NON presente (in questo caso non abbiamo avuto bisogno di tenere traccia dei passaggi precedenti, ma forse abbiamo bisogno in generale), lasciando o semplicemente $$((x\land y)\lor (x\land y) \lor (x\land y))$$ $$(x\land y)$$

La correttezza della dimostrazione richiesta viene discussa nel blog di Luca Trevisan: https://lucatrevisan.wordpress.com/2017/08/15/on-norbert-blums-claimed-proof-that-p-does-not-equal- np /

In particolare "anon" ha pubblicato il seguente commento pertinente:

"Tardos ha osservato che gli argomenti di Razborov e Alon-Boppana si riconducono a una funzione calcolata da un circuito non monotono di dimensione polinomiale (la funzione è una piccola variante per l'approssimazione della funzione theta di Lovasz del grafico). Se anche gli argomenti di Berg e Ulfberg richiedere la funzione di Tardos (che è intuitivamente probabile, poiché la loro dimostrazione sembra essere basata sulla dimostrazione di Razborov), allora è chiaro che l'attuale affermazione di Blum non può essere corretta. Sfortunatamente, l'autore non discute di questo punto. "

Su una domanda diretta di "Mikhail", Alexander Razborov lo conferma (vedi il post di Mikhail): i ragionamenti forniti da Berg e Ulfberg valgono perfettamente per la funzione di Tardos, e dato che è così, la prova di Blum è necessariamente errata poiché contraddice il nucleo del sesto teorema nel suo documento. - A. Razborov

A mio avviso, ciò risolve definitivamente la questione se la carta sia corretta o meno (NON è corretta!). È anche importante notare che sembra difficile riparare la prova poiché il metodo di prova stesso sembra difettoso.

Aggiornamento (2017/08/30) Norbert Blum ha pubblicato il seguente commento sulla sua pagina arXiv:

La prova è sbagliata Elaborerò precisamente qual è l'errore. Per fare questo, ho bisogno di un po 'di tempo. Metterò la spiegazione sulla mia homepage

Gustav Nordh commentato da Theorem 5 (pagina 29). In particolare, la funzione

calcola la funzione che è solo se ed sono entrambi , quindi è monotona. L'espressione sopra per la funzione rappresenta una "rete standard" (dove le uniche negazioni sono in letterale) i cui nodi corrisponde alle letterali ed , loro negazioni, e ciascuna delle espressioni binarie. Supponiamo che il nodo di output della rete sia chiamato .$1$$x$$y$$1$$\beta$$x$$y$$\beta$$g_0$

Il documento Blum crea un nuovo modulo normale disgiuntivo da che sembra essere$DNF'_{\beta}(g_0)$$\beta$

Ora, secondo il Teorema 5, ogni monomio in è implicito in . Ma uno dei monomi in è , che non è un fattore implicito di (perché non implica ), in contraddizione con il teorema. Tuttavia, come notato nei commenti attribuiti a Gustav Nordh e la spiegazione dettagliata per idolvon, questa apparente discrepanza viene risolto da adeguate ed espansiva interpretazione del termine "origine" nella definizione di operatore di riduzione .$DNF'_{\beta}(g_0)$$f$$DNF'_{\beta}(g_0)$$x$$f$$x=1$$f(x,y)=1$$R$

Si potrebbe usare la decodifica della lista dei codici Reed-Solomon per mostrare che la funzione POLY di Andreev è in P, simile al modo in cui Sivakumar ha fatto nel suo articolo comparabile ? O la funzione POLY è nota per essere NP-completa?

Ha aggiornato il suo arXiv per dire che la sua prova non è corretta:

La prova è sbagliata Elaborerò precisamente qual è l'errore. Per fare questo, ho bisogno di un po 'di tempo. Metterò la spiegazione sulla mia homepage.

Il blog di Lipton e Regan qui ha una bella discussione di alto livello con un commento interessante sulla struttura delle prove.

Sottolineano inoltre che il pedigree di Blum ha dimostrato di avere un limite inferiore alla complessità del circuito booleano che dura da oltre 30 anni. Questa, naturalmente, è solo "informazione collaterale" poiché gli esperti stanno già studiando seriamente la prova.

Inoltre, qui: https://www.quora.com/Whats-the-status-of-Norbert-Blums-claim-that-operatorname-P-neq-operatorname-NP

Citando Alon Amit:

(opinione personale, 14 agosto, più avanti nella giornata): non credo che questo documento resisterà al controllo. Un teorema profondo che è stato studiato in modo massiccio come P P NP, con ogni probabilità, sarà risolto con nuove tecniche profonde e di vasta portata. Non è impossibile che venga risolto con un leggero miglioramento di metodi noti ed esistenti, ma è solo molto, molto, molto improbabile.

È improbabile che sia corretto per il seguente motivo: il metodo delle approssimazioni è abbastanza generale che qualsiasi limite inferiore può essere provato usando loro. Questo è un risultato dovuto a Razborov. Perché è un problema? Perché significa che il metodo delle approssimazioni non sarà il progresso principale, può esprimere qualsiasi cosa, la carne sarà da qualche altra parte. Sembra che non ci sia tanta carne sul giornale, il che suggerisce che molto probabilmente l'autore sta facendo un errore sottile, il tipo di errore che è nascosto all'occhio ma essenzialmente è un presupposto che implica la risposta. Per coloro che non sono teorici della complessità: questo è un ottimo test dell'olfatto, è altrettanto vero quanto la pretesa di qualcuno di costruire un razzo nel suo seminterrato per viaggiare sulla luna in una settimana.

Allora, dov'è quel sottile errore? Sul blog di Trevisan c'è un commento di Lovett che suggerisce quale ipotesi nascosta potrebbe essere nel teorema 6.

Blum utilizza il metodo di approssimazione Razborov's concludere che una funzione di posso essere calcolato in .$NP-c$$P$

L'obiettivo del metodo Razborov's di approssimazione è di mostrare che non può calcolare , dove è una funzione booleana e qualsiasi circuito di cancelli.f f C $C$$f$$f$$C$$m$

Una funzione booleana ha una sola tabella di verità ma non una singola espressione algebrica, né un problema ha una sola funzione booleana che la risolve.

Alcune funzioni (possono essere tutte) sono isomorfiche (i problemi non lo sono).

Per concludere che con il metodo Razborov's di approssimazione, è requieres alla prova che un circuito con cancelli (quali è polinomic rispetto de inserimenti di ) calcolare una riesco funzione senza isomorphims, oppure che è il minimo isomorfismo.m m f f $NP=P$$m$$m$$f$$f$$f$