La teoria del primo ordine di una struttura finita ha limitato il rango dei quantificatori?

Sia qualsiasi struttura finita. La sua teoria del primo ordine ha limitato il rango dei quantificatori, nel senso che esiste un tale che per tutti con c'è un con e ? $\mathfrak{A}$ $\mathfrak{T} := \mathfrak{TH}(\mathfrak{A})$ $q\in\mathbb{N}$ $\varphi\in\mathfrak{T}$ $qr(\varphi) > q$ $\varphi'\in\mathfrak{T}$ $qr(\varphi')\leq q$ $\varphi'\equiv\varphi$

co.combinatorics lo.logic relational-structures

— D. Rusin
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Non è una domanda per Mathoverflow piuttosto che per la teoria CS?

— Andrej Bauer,

@Andrej, anche la teoria dei modelli finiti e la complessità descrittiva sono considerate parte del TCS.

— Kaveh,

Eccellente, come ha detto una volta Bob Harper: la matematica è un caso speciale di informatica.

— Andrej Bauer,

L'informatica è anche un caso speciale di matematica, ed entrambi sono anche casi speciali di logica e viceversa.

— fhyve,

Risposte:

La teoria di qualsiasi struttura finita è il modello completo. In effetti, è facile vedere che qualsiasi formula è equivalente a una formula esistenziale con un quantificatore per ogni elemento della struttura, dopo di che tutti i quantificatori della formula originale possono essere simulati da congiunzioni e disgiunzioni. In particolare, il numero di quantificatori (quindi rango di quantificatore) è limitato dalla dimensione della struttura.

— Emil Jeřábek
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In realtà, è necessario un ulteriore quantificatore universale, che permetta di esprimere che non ci sono ulteriori elementi. In tutte le risposte c'è un presupposto che dovrebbe essere reso esplicito: la presenza di fequalità, cioè che x = y è una formula atomica consentita.

— Thomas S,

Non è necessario alcun quantificatore aggiuntivo. Ricorda che non stiamo cercando di assiomatizzare la teoria della struttura, ma di trovare una formula equivalente a un dato modulo della teoria. E la presenza di uguaglianza è lo standard universale per la logica classica del primo ordine. La sua assenza dovrebbe essere dichiarata.

— Emil Jeřábek,

Ah. Hai ragione. "Modulo Teoria". Per quanto riguarda l'uguaglianza: mentre stiamo cercando di spiegare cose semplici a persone esterne alla Logica, non fa male rendere esplicito il framework. Un'altra osservazione: sostituire i quantificatori con congiunzioni e disgiunzioni è perfettamente buono. Tuttavia, ci sono alternative: poiché una formula con, diciamo, m variabili libere definisce una relazione m-ary di A, la nuova formula può, dopo aver indovinato tutti gli elementi e aver verificato quale (automorphisms modulo), anche "enumerare" esplicitamente tutti tuple, per le quali la vecchia formula produce "vero".

— Thomas S,

Per rendere più concreto ciò che Emil ha detto: considera la formula che esprime l'esistenza di k oggetti distinti. Ciò dimostra che abbiamo bisogno di un numero illimitato di quantificatori.

Ora hai una formula con quantificatori q e il tuo modello ha k oggetti al suo interno, puoi esprimere la formula affermando che esistono k oggetti distinti e che la relazione tra loro può essere espressa come CNF.

— Kaveh
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