Ricerca di sottografi con elevata larghezza degli alberi e grado costante

Mi viene dato un grafico con larghezza dell'albero e grado arbitrario, e vorrei trovare un sottografo di (non necessariamente un sottografo indotto) in modo che abbia un grado costante e la sua larghezza dell'albero sia il più alta possibile. Formalmente il mio problema è il seguente: avendo scelto un limite di grado , qual è la funzione "migliore" tale che, in qualsiasi grafico con larghezza dell'albero , posso trovare (si spera in modo efficiente) un sottografo di con grado massimo $G$ $k$ $H$ $G$ $H$ $d \in \mathbb{N}$ $f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ $G$ $k$ $H$ $G$ $\leq d$ e larghezza dell'albero . $f(k)$

Ovviamente dovremmo prendere poiché non ci sono grafici ad alta larghezza di albero con grado massimo . Per So che si può prendere tale che circa, facendo leva Chekuri e Chuzhoy di griglia Risultato estrazione minore $d \geq 3$ $<3$ $d = 3$ $f$ $f(k) = \Omega(k^{1/100})$ (e usandolo per estrarre un grafico di grado 3 ad alta larghezza di albero, ad esempio un muro, come un minore topologico), con il calcolo del sottografo essendo fattibile (in RP). Tuttavia, questo è un risultato molto potente con una prova elaborata, quindi mi sembra sbagliato usarlo per quello che sembra un problema molto più semplice: vorrei solo trovare un sottografo di grado costante, ad alta larghezza di albero, non uno specifico come nel loro risultato. Inoltre, il limite di non è buono come avrei sperato. Certo, si sa che può essere fatto (fino a rinunciare efficienza del calcolo), ma vorrei sperare in qualcosa di simile a $f$ $\Omega(k^{1/20})$ $\Omega(k)$ . Quindi, è possibile dimostrare che, dato un grafico della larghezza dell'albero , esiste un sottografo di con grado costante e larghezza dell'albero lineare in ? $G$ $k$ $G$ $k$

Sono anche interessato alla stessa identica domanda per la larghezza di percorso piuttosto che per la larghezza degli alberi. Per l'ampiezza del percorso non conosco alcun analogo dell'estrazione minore in griglia, quindi il problema sembra ancora più misterioso ...

— a3nm
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$\Omega(k/polylog(k))$ $k$ $G$

$\Omega(k^{1/4})$

$\log^2(k)$ $\Omega(k/\mathsf{polylog}(k))$

— Chandra Chekuri
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Ω (k)

$\Omega(k)$

n

$n$

Θ (n / \log n)

$\Theta(n/\log n)$

Θ (\log n)

$\Theta(\log n)$

Ω (l^{4} p o l y l o g (l))

$\Omega(l^4 polylog(l))$

Ω (l)

$\Omega(l)$

K_{l}

$K_l$

Ancora una volta, questo è molto utile, grazie. È interessante che la questione della larghezza lineare degli alberi sia ancora aperta. (Detto questo, se ho capito bene, la congettura 1.2 nella tua carta sparsifier riguarda un problema leggermente diverso: richiede che il sottografo sia una suddivisione di qualche H di dimensione polinomiale in k, mentre non lo sto chiedendo e voglio solo il sottografo deve avere un grado costante.) Un'ultima cosa: sai se si sa qualcosa di questo problema aperto, ma per l'ampiezza del percorso piuttosto che l'ampiezza dell'albero? Grazie ancora!

— a3nm,

t w (G) \leq p w (G) \leq O (\log n) t w (G)

$tw(G) \le pw(G) \le O(\log n) tw(G)$

— Chandra Chekuri

Grazie per le spiegazioni sullo stato della tre-larghezza lineare e grazie anche per le spiegazioni sulla sparsificazione della larghezza del percorso. L'ultima cosa che hai menzionato è il tipo di risultati di cui avremmo avuto bisogno; peccato che la domanda sia ancora aperta. In ogni caso, grazie ancora per le tue spiegazioni!

— a3nm,