Come posso generare casualmente alberi spanning ad altezza limitata?

Per un progetto a cui sto lavorando, dovrei generare alberi spanning casuali con altezza limitata.

Fondamentalmente faccio quanto segue: 1) Genera un albero di spanning 2) Verifica la fattibilità, se fattibile tienilo.

1) Partendo da un albero di spanning minimo (di Prim o Kruskal) aggiungo un bordo inesistente e questo crea un ciclo, rilevo questo ciclo e rimuovo uno dei bordi di questo ciclo che mi dà un nuovo albero di spanning e continuo con questo spanning tree aggiungendo un nuovo bordo ...

2) Supponiamo che ci sia un vertice speciale . Per ogni vertice v , la lunghezza del percorso da v a V c e n t e r deve essere inferiore a δ , dove δ è un dato parametro.$v_{center}$$v$$v$$V_{center}$$\delta$$\delta$

Esiste un modo migliore (intelligente) per farlo?

PS Ho dimenticato di specificare l'altro vincolo (errore mio): anche il grado dei vertici dovrebbe essere limitato.

Alcuni anni fa stavo lavorando su alberi a profondità limitata, sono davvero interessanti. Alcuni miei colleghi hanno escogitato algoritmi di passaggio dei messaggi che hanno fatto un ottimo lavoro, ma non riesco a trovare nessuno dei loro codici disponibili. Lo abbiamo scritto in uno stile fisico qui: http://iopscience.iop.org/1742-5468/2009/12/P12010/ . Mi hanno detto che funziona anche con limiti di laurea, anche se questo non è stato inserito nel documento.

L'approccio che proponi, che definirei Markov Chain Monte Carlo, è spesso in concorrenza con l'approccio del passaggio di messaggi. Se sei interessato a campionare approssimativamente in modo uniforme in modo casuale dall'insieme di alberi a spargimento di profondità limitata, di un determinato grafico, ti suggerisco di modificare il tuo approccio per usare i limiti "soft". Vale a dire invece di rifiutare uno scambio di bordo che fa sì che l'albero violi il limite di profondità, accettalo, ma con una probabilità inferiore rispetto a uno scambio che non viola il limite. Se si dispone di un parametro che controlla quanto più bassa è questa probabilità, è possibile rendere il vincolo che viola le configurazioni sempre meno probabile fino ad arrivare a una soluzione fattibile quasi uniformemente casuale.

La grande domanda è per quanto tempo devi far funzionare la catena. Poiché un albero di spanning con un massimo di 2 è un percorso hamiltoniano, dovresti aspettarti che qualsiasi limite generico sia esponenziale nella dimensione del grafico. Ma forse i grafici che ti interessano sono in qualche modo speciali.

$S$$S$$h$$h$$h$

Tuttavia, non sono sicuro che l'algoritmo che hai descritto genererà un spanning tree casuale. Consiglierei invece di guardare algoritmi standard. Esistono due algoritmi: l'algoritmo di Wilson e l'algoritmo di Aldous-Broder. Puoi dare un'occhiata qui . Esiste un nuovo algoritmo (approssimazione) ma è piuttosto complicato.

Inoltre, potrebbe esserci un modo per generare direttamente questo spanning tree con altezza limitata. Ma non ho mai sentito parlare di tali algoritmi.

Usa la ricerca per primo! Esegui un BFS da ogni vertice nel grafico, scegli l'albero risultante della più piccola altezza. Un BFS trova sempre il percorso dalla radice ad ogni altro vertice con il minor numero di salti.