Trova un argmax approssimativo usando solo query massime approssimative

Considera il seguente problema.

Ci sono valori sconosciuti v 1 , ⋯ , v n ∈ R . L'attività consiste nel trovare l'indice del più grande utilizzando solo le query del modulo seguente. Una query è specificata da un set S ⊆ { 1 , ⋯ , n } e la risposta corrispondente è max i ∈ S v i . L'obiettivo è utilizzare il minor numero di query possibile.$n$$v_1, \cdots, v_n \in \mathbb{R}$$S \subseteq \{1,\cdots,n\}$$\max_{i \in S} v_i$

Questo problema è semplice: possiamo usare la ricerca binaria per trovare l'argmax con le query . cioè Costruisci un albero binario completo con n foglie corrispondenti agli indici. Inizia dalla radice e cammina verso una foglia come segue. Su ciascun nodo, interroga il valore massimo nelle sottostrutture destra e sinistra e poi passa al figlio sul lato con la risposta più grande. Al raggiungimento di una foglia, genera il suo indice.$O(\log n)$$n$

La seguente versione rumorosa di questo problema è emersa nella mia ricerca.

Ci sono valori sconosciuti v 1 , ⋯ , v n . È possibile accedervi con query in cui viene specificato un set S ⊆ { 1 , ⋯ , n } e viene restituito un campione da N ( max i ∈ S v i , 1 ) . L'obiettivo è identificare i ∗ ∈ { 1 , ⋯ , n } in modo tale che E [ v i ∗$n$$v_1, \cdots, v_n$$S \subseteq \{1, \cdots, n\}$$\mathcal{N}(\max_{i \in S} v_i,1)$$i_* \in \{1, \cdots, n\}$ utilizzando il minor numero di query possibile. (L'aspettativa è oltre la scelta di i ∗ , che dipende sia dalle monete dell'algoritmo che dalle risposte alle query rumorose.)$\mathbb{E}[v_{i_*}] \geq \max_i v_i - 1$$i_*$

$\mathbb{E}[v_{i_*}] \geq \max_i v_i - O(\log n)$$1$$O(\log^2 n)$$O(\log^3 n)$

$O(\log^2 n)$$\Omega(\log^2 n)$$\tilde{O}(\log n)$$\Omega(1)$$0$$O(\log n)$

$B = \Theta(\log n)$$\{v_1,\dots,v_n\} = \{\frac{1}{n}B, \dots, \frac{n-1}{n}B, B\}$

$B$$\frac{n-1}{n}B$

$B-1$

$\log n$$(\log n)^2$

$\frac{B}{n}$

Mi dispiace che questo sia cotto a metà, ma spero che possa essere utile!