Considera il seguente gioco a 2 giocatori:
- La natura sceglie casualmente un programma
- Ogni giocatore gioca un numero in [0, infinito] incluso in risposta alla mossa della natura
- Prendi il minimo dei numeri dei giocatori ed esegui il programma per (fino a) quel numero di passaggi (a meno che entrambi i giocatori non abbiano scelto l'infinito)
- Se il programma si interrompe, il giocatore che ha giocato il numero minimo guadagna 1 punto. Se il programma non si interrompe, quel giocatore perde 1 punto. Ogni giocatore che ha giocato un numero non minimo riceve 0 punti, ed entrambi i giocatori ricevono 0 se entrambi giocano all'infinito.
(I casi angolari possono essere gestiti in qualsiasi modo conservi lo spirito del problema, ad esempio la semicontinuità superiore può essere utile.)
La domanda: questo gioco possiede un equilibrio calcolabile di Nash?
Senza il requisito della calcolabilità, ogni giocatore gioca solo il numero esatto di passaggi in cui il programma si ferma (o infinito, se non si ferma).
Se provi il solito argomento di diagonalizzazione per il problema di arresto, scoprirai che esiste un equilibrio nelle strategie miste, quindi l'approccio ovvio non funziona immediatamente. Forse c'è un modo per modificarlo?
D'altra parte, l'equivalenza di campi chiusi reali significa che i giochi finiti con payoff calcolabili hanno equilibri calcolabili . Questo gioco non è finito, ma lo spazio strategico è chiuso e le vincite calcolabili, quindi forse lo stesso trucco potrebbe essere applicato con il Teorema di Glicksberg o qualcosa del genere? Il problema è che, senza il requisito della calcolabilità, l'equilibrio è nelle strategie pure, quindi ogni tentativo di provare l'esistenza di un equilibrio calcolabile usando l'esistenza di un equilibrio forse calcolabile deve spiegare perché l'equilibrio viene declassato da puro a misto.
Questo sembra il tipo di problema in cui le persone potrebbero non aver affrontato questa domanda esatta prima, ma potrebbero aver esaminato qualcosa di simile. Non sono stato in grado di alzare molto, ma se qualcuno sa qualcosa nello spirito, per favore fatemelo sapere!
Motivazione: esiste un'intuizione comune secondo cui l'autoreferenziazione è il principale blocco della calcolabilità, ovvero che qualsiasi problema insopportabile in qualche modo incorpora l'auto-riferimento. Se un gioco approssimativamente come questo ha un equilibrio calcolabile di Nash, fornirebbe prove di tale intuizione.
AGGIORNAMENTO: per chiarire, l'equilibrio dovrebbe essere "calcolabile" nel senso di numeri reali calcolabili: le probabilità che descrivono la distribuzione mista della strategia dovrebbero essere calcolabili con precisione arbitraria. (Notare che solo molte probabilità finite saranno al di sopra di ogni particolare limite di precisione.) Ciò significa anche che possiamo campionare da un'approssimazione ravvicinata arbitraria della strategia di equilibrio.