Conclusioni dalla forza matematica inversa del teorema minore grafico

Supponiamo di avere una proprietà del grafico che può essere verificata in un tempo polinomiale non deterministico e una dimostrazione in un sistema formale debole (diciamo RCA ₀ ) che la proprietà è chiusa in modo minore. Possiamo dire qualcosa sulla forza di un sistema formale, che è in grado di dimostrare che un dato insieme finito di minori esclusi caratterizza la proprietà del grafico dato?

Contesto È noto che già una versione semplice (senza un insieme di etichette quasi ordinate) del teorema dell'albero di Kruskal non è dimostrabile in ATR ₀ e il teorema minore grafico è una generalizzazione di quel teorema che non è nemmeno dimostrabile in Π ¹ ₁ -CA ₀ . Friedman usò quella versione semplice del teorema dell'albero di Kruskal per costruire la funzione TREE (n) in rapida crescita , e usò il teorema minore grafico per costruire la funzione SSCG (n) ancora più rapida crescita . Queste sono belle dimostrazioni di conclusioni sul contenuto computazionale dalla forza matematica inversa, ma quelle lasciano la domanda più diretta posta sopra senza risposta.

Vale a dire, correlato al teorema minore grafico è la prova che le proprietà minori chiuse possono essere testate in tempi cubi deterministici, se si conosce l'elenco dei minori esclusi per quella proprietà. Quindi è naturale chiedersi quanto sia "impossibile" provare che si sono trovati tutti i minori esclusi per una data proprietà chiusa minore "facile" (come precisato nella domanda). Dato che si tratta di un compito "non uniforme", non mi è chiaro se l '"impossibilità" di questo compito sia in alcun modo correlata alla "difficoltà" (cioè alla forza matematica inversa) di dimostrare il teorema minore grafico stesso.

Poiché la semplice versione del teorema dell'albero di Kruskal pone esattamente le stesse domande del teorema minore del grafico, le risposte possono concentrarsi su quel problema più semplice, se lo desiderano. Ho appena usato il teorema minore del grafico, perché la domanda sembra più naturale in quel modo. (È possibile che questa domanda sia stata più adatta a MSE o MSO, almeno per quanto riguarda l'ottenimento di una risposta definitiva. Ma la motivazione di questa domanda è più correlata a TCS, quindi ho deciso di porla qui.)

Non sono sicuro di aver compreso la tua domanda, ma se ti stai chiedendo quanto sia difficile calcolare l'insieme di ostacoli, potresti essere interessato al seguente http://www.jucs.org/doi?doi=10.3217/jucs- 003-11-1194 dove viene dimostrata la non computabubilità anche se la classe di grafi è definibile da MSOL. In questo articolo http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012365X97830798?via%3Dihub la computabilità è dimostrata quando la classe del grafico è data dalla grammatica delle risorse umane.