Qual è la probabilità che una funzione booleana casuale abbia un banale gruppo di automorfismi?

Data una funzione booleana , abbiamo il gruppo automorfismo A u t ( f ) = { σ ∈ S n ∣ ∀ x , f ( σ ( x ) ) = f ( x ) } .$f$$Aut(f) = \{\sigma \in S_n\ \mid \forall x, f(\sigma(x)) = f(x) \}$

Ci sono limiti noti su ? È noto qualcosa per le quantità della forma P r f ( G ≤ A u t ( f ) ) per alcuni gruppi G ?$Pr_f(Aut(f) \neq 1)$$Pr_f(G \leq Aut(f))$$G$

Sì. Alla tua prima domanda, la probabilità va a zero in modo esponenzialmente doppio. Questo può essere calcolato come segue. Per ogni permutazione , possiamo limitare la probabilità che π ∈ A u t ( f ) , cioè che f ( π ( x ) ) = f ( x ) per tutti x ∈ { 0 , 1 } n . Considera le orbite di π che agiscono su { 0 , 1 } n . Abbiamo questo $\pi$$\pi \in Aut(f)$$f(\pi(x)) = f(x)$$x \in \{0,1\}^n$$\pi$$\{0,1\}^n$$\pi$è un automorfismo di iff f è costante sugli π -orbiti. Se π non è banale, ha almeno un'orbita su [ n ] che non è un singleton, e quindi almeno su un'orbita su { 0 , 1 } n che non è un singleton. Supponiamo che l'orbita contenga k elementi. La probabilità che f sia costante su quell'orbita è quindi precisamente 2 - ( k - 1 ) . Supponiamo che π che agisce su [ n ] ha$f$$f$$\pi$$\pi$$[n]$$\{0,1\}^n$$k$$f$$2^{-(k-1)}$$\pi$$[n]$ punti fissi, c 2 cicli di lunghezza 2, ecc. (in particolare ∑ n i = 1 i c i = n ). Quindi il numero di punti di { 0 , 1 } n fissato da π è precisamente 2 ∑ i c i . Tutti i punti rimanenti di { 0 , 1 } n sono in orbite non banali di π . Al limite superiore la probabilità che π ∈ A u t $c_1$$c_2$$\sum_{i=1}^n i c_i = n$$\{0,1\}^n$$\pi$$2^{\sum_i c_i}$$\{0,1\}^n$$\pi$ , nota che la migliore possibilità è se tutti gli elementi non fissi di { 0 , 1 } n arrivano in orbite di dimensione 2. Quindi otteniamo che P r ( π ∈ A u t ( f ) ) ≤ ( 1 / 2 ) M / 2 dove M = 2 n - 2 ∑ i c i . Ora, vogliamo un limite inferiore su M , il che significa che vogliamo un limite superiore su ∑ i $\pi \in Aut(f)$$\{0,1\}^n$$Pr(\pi \in Aut(f)) \leq (1/2)^{M/2}$$M = 2^n - 2^{\sum_i c_i}$$M$ . Poiché π ≠ 1 , il più grande ∑ c i può essere è quando c 1 = n - 2 e c 2 = 1 , ovvero ∑ c i = n - 1 e M = 2 n - 2 n - 1 = 2 n - 1 , quindi M ≥ 2 n - 1 e P r ( π $\sum_i c_i$$\pi \neq 1$$\sum c_i$$c_1 = n-2$$c_2 = 1$$\sum c_i = n-1$$M = 2^n - 2^{n-1} = 2^{n-1}$$M \geq 2^{n-1}$ . Ora applica il limite dell'unione: | S n | = n ! , quindi P r ( ( ∃ π ∈ S n ) [ π ≠ 1  e  π ∈ A u t ( f ) ] ) ≤ n ! 2 - 2 $Pr(\pi \in Aut(f)) \leq (1/2)^{2^{n-2}}$$|S_n| = n!$ , che in pratica è2nlgn- 2 n - 2 →0comen→∞, abbastanza rapidamente.$Pr((\exists \pi \in S_n)[\pi \neq 1 \text{ and } \pi \in Aut(f)]) \leq n! 2^{-2^{n-2}}$$2^{n \lg n - 2^{n-2}} \to 0$$n \to \infty$

Per ogni dato potresti usare un ragionamento simile, ma anche la probabilità andrà a zero molto rapidamente.$G \leq S_n$