È possibile utilizzare una versione della complessità descrittiva del teorema di Rice per separare AC0 e PSPACE?


10

In questa domanda , è stato menzionato che ci sono versioni descrittive della complessità del teorema di Rice. Ho trovato una prova del seguente teorema:

Data una classe di complessità C , le proprietà non banali delle lingue in C non possono essere calcolate in C

Avevo precedentemente pubblicato la prova che ho trovato, ma poiché era così lungo e poiché nei commenti è stato sottolineato che questo documento contiene già una prova di quel teorema, l'ho rimosso. (Se per qualche motivo sei disperato di vedere la mia prova, consulta le revisioni precedenti di questa domanda.)

Il mio interesse è se questo teorema possa essere usato o meno per separare AC0 e PSPACE. Ecco l'argomento:

Considera la proprietà P della classe di complessità AC0 definita come segue:

P : la proprietà di essere una query FO che accetta una particolare struttura fissa, vale a dire la struttura costituita da un elemento, nessuna funzione, nessuna costante e nessuna relazione

Chiaramente, dal teorema sopra, P non è decidibile in AC0; è una proprietà non banale di query FO.

Tuttavia, un piccolo esame dovrebbe mostrare che calcolare se una query FO accetta o meno una struttura così semplice può essere deciso facilmente come TQBF; quindi, P è decidibile in PSPACE.

Per garantire chiarezza su questo punto (che P è calcolabile in PSPACE): Nota che la proprietà a cui siamo interessati richiede che la struttura sia FO. Quindi, stiamo provando a determinare se una query FO in esecuzione su una struttura a singolo elemento senza relazioni accetta. Poiché non ci sono relazioni da affrontare, dovrebbe essere chiaro che il compito di decidere una simile query FO equivale a decidere un'istanza di TQBF; non ci sono relazioni, quindi l'unica sfida che rimane è valutare se la formula booleana quantificata sia vera o meno. Questo è fondamentalmente solo TQBF, quindi P è calcolabile in PSPACE.

Poiché P è calcolabile in PSPACE ma non in AC0, dovremmo essere in grado di concludere che AC0! = PSPACE. Questo ragionamento è corretto o ho commesso un errore da qualche parte? Sono particolarmente preoccupato per il paragrafo precedente; Cercherò di chiarire e aggiornare l'argomento domani dopo che avrò la possibilità di riflettere un po 'di più sull'esposizione.

Accetterei come risposta un esempio di una query FO che, quando si calcola sulla struttura a un elemento, senza relazioni che ho descritto, chiaramente non ha senso come istanza di TQBF. (Sto suggerendo che non ce n'è uno, quindi se puoi dimostrare che ce n'è uno, sarebbe un controesempio.)

Grazie.


@Kaveh: dovresti dare una risposta al tuo commento.
Dai Le

@Kaveh: grazie per il tuo commento. Sono un po 'confuso da quello che stai dicendo, però. A quale macchina in PSPACE per i set AC0 ti riferivi? Mi riferivo alla proprietà P, che si riferisce specificamente alle query FO su strutture molto semplici. Sto suggerendo che valutare se le query FO accettano una struttura semplice sia garantito come TQBF, che è PSPACE. Non vedo dove sia necessario un simulatore universale per AC0.
Philip White,

@Kaveh: OK. Preparerò la mia tentata prova della congettura in questa domanda e la pubblicherò come domanda separata. Ho pensato che fosse corretto, ma spesso mi sbaglio. (Certo, se confuti la mia congettura prima di allora, non mi preoccuperò.)
Philip White,

Oh. L'ho appena pubblicato come una domanda. Devo eliminare la nuova domanda e pubblicarla come risposta?
Philip White,

(L'ho eliminato e aggiunto a questa domanda.)
Philip White il

Risposte:


7

Decidere le proprietà non banali degli insiemi (di indicizzazione) in una classe di complessità è difficile quanto calcolare il grafico della funzione universale per la classe. Intuitivamente ciò significa che l'unico modo per decidere una proprietà non banale è simulare le macchine e attendere le risposte. Mi sembra che l'idea di utilizzare una tale proprietà fornisca solo ciò che è noto dai teoremi della gerarchia. (Vedi il teorema 4.2 di D. Kozen, " Indicizzazione delle classi sub-corsive ", 1978 per i dettagli e l'esatta affermazione del teorema.)

grUAC0AC0PSpaceAC0LLPSpaceAC0AC0FOPSpacePSpaceAC0AC0PSapce

AC0LPSpace


Interessante, grazie. Quindi stai dicendo: 1) La mia tesi era giusta, ma 2) C'era un modo più semplice. :) Suppongo di dover rispolverare il teorema della gerarchia spaziale.
Philip White,

FO

Ok fantastico. In realtà ho appena controllato la definizione di FO. Sapevo che includeva il simbolo dell'uguaglianza; ecco perché ho richiesto che la struttura fosse un solo elemento. In questo modo, qualsiasi affermazione sull'uguaglianza di due variabili non influirà sulla verità della query.
Philip White,

Un altro commento ... hai fatto un punto importante sui simboli non logici. Poiché non ci sono relazioni, il simbolo di uguaglianza è in realtà essenziale. In particolare, è necessario esprimere i letterali molto booleani necessari per esprimere il TQBF.
Philip White,

FO
Utilizzando il nostro sito, riconosci di aver letto e compreso le nostre Informativa sui cookie e Informativa sulla privacy.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.