È possibile utilizzare una versione della complessità descrittiva del teorema di Rice per separare AC0 e PSPACE?

In questa domanda , è stato menzionato che ci sono versioni descrittive della complessità del teorema di Rice. Ho trovato una prova del seguente teorema:

Data una classe di complessità C , le proprietà non banali delle lingue in C non possono essere calcolate in C

Avevo precedentemente pubblicato la prova che ho trovato, ma poiché era così lungo e poiché nei commenti è stato sottolineato che questo documento contiene già una prova di quel teorema, l'ho rimosso. (Se per qualche motivo sei disperato di vedere la mia prova, consulta le revisioni precedenti di questa domanda.)

Il mio interesse è se questo teorema possa essere usato o meno per separare AC0 e PSPACE. Ecco l'argomento:

Considera la proprietà P della classe di complessità AC0 definita come segue:

P : la proprietà di essere una query FO che accetta una particolare struttura fissa, vale a dire la struttura costituita da un elemento, nessuna funzione, nessuna costante e nessuna relazione

Chiaramente, dal teorema sopra, P non è decidibile in AC0; è una proprietà non banale di query FO.

Tuttavia, un piccolo esame dovrebbe mostrare che calcolare se una query FO accetta o meno una struttura così semplice può essere deciso facilmente come TQBF; quindi, P è decidibile in PSPACE.

Per garantire chiarezza su questo punto (che P è calcolabile in PSPACE): Nota che la proprietà a cui siamo interessati richiede che la struttura sia FO. Quindi, stiamo provando a determinare se una query FO in esecuzione su una struttura a singolo elemento senza relazioni accetta. Poiché non ci sono relazioni da affrontare, dovrebbe essere chiaro che il compito di decidere una simile query FO equivale a decidere un'istanza di TQBF; non ci sono relazioni, quindi l'unica sfida che rimane è valutare se la formula booleana quantificata sia vera o meno. Questo è fondamentalmente solo TQBF, quindi P è calcolabile in PSPACE.

Poiché P è calcolabile in PSPACE ma non in AC0, dovremmo essere in grado di concludere che AC0! = PSPACE. Questo ragionamento è corretto o ho commesso un errore da qualche parte? Sono particolarmente preoccupato per il paragrafo precedente; Cercherò di chiarire e aggiornare l'argomento domani dopo che avrò la possibilità di riflettere un po 'di più sull'esposizione.

Accetterei come risposta un esempio di una query FO che, quando si calcola sulla struttura a un elemento, senza relazioni che ho descritto, chiaramente non ha senso come istanza di TQBF. (Sto suggerendo che non ce n'è uno, quindi se puoi dimostrare che ce n'è uno, sarebbe un controesempio.)

Grazie.

Decidere le proprietà non banali degli insiemi (di indicizzazione) in una classe di complessità è difficile quanto calcolare il grafico della funzione universale per la classe. Intuitivamente ciò significa che l'unico modo per decidere una proprietà non banale è simulare le macchine e attendere le risposte. Mi sembra che l'idea di utilizzare una tale proprietà fornisca solo ciò che è noto dai teoremi della gerarchia. (Vedi il teorema 4.2 di D. Kozen, " Indicizzazione delle classi sub-corsive ", 1978 per i dettagli e l'esatta affermazione del teorema.)

$grU_{AC^0}$$AC^0$$PSpace$$AC^0 \subseteq L$$L$$PSpace$$AC^0$$AC^0$$FO$$PSpace$$PSpace$$AC^0$$AC^0$$PSapce$

$AC^0 \subseteq L \subset PSpace$