Problemi di somma delle radici quadrate?

Il problema della somma delle radici quadrate chiede, date due sequenze e di numeri interi positivi, se la somma $a_1, a_2, \dots, a_n$ $b_1, b_2, \dots, b_n$ minore, uguale o maggiore della somma $\sum_i \sqrt{a_i}$ . Lo stato di complessità di questo problema è aperto; vediquesto postper ulteriori dettagli. Questo problema sorge naturalmente nella geometria computazionale, specialmente nei problemi che coinvolgono i percorsi più brevi euclidei, ed è un ostacolo significativo nel trasferimento di algoritmi per tali problemi dalla RAM reale alla RAM intera standard. $\sum_i \sqrt{b_i}$

Chiama un problema Π somma delle radici quadrate-dure (abbreviato Σ√-difficile?) Se c'è una riduzione del tempo polinomiale dalla somma del problema delle radici quadrate a Π. Non è difficile dimostrare che il seguente problema è la somma delle radici quadrate:

Percorsi più brevi nei grafici geometrici euclidei 4d

Istanza: un grafico cui vertici sono punti in , con bordi ponderati in distano euclideo; due vertici et $G=(V,E)$ $\mathbb{Z}^4$ $s$ $t$

Output: Il cammino minimo da a in . $s$ $t$ $G$

Naturalmente questo problema può essere risolto in tempo polinomiale sulla RAM reale usando l'algoritmo di Dijkstra, ma ogni confronto in quell'algoritmo richiede di risolvere un problema di somma delle radici quadrate. La riduzione utilizza il fatto che qualsiasi numero intero può essere scritto come la somma di quattro quadrati perfetti; l'output della riduzione è in realtà un ciclo su vertici. $2n+2$

Quali altri problemi sono difficili per la somma delle radici quadrate? Sono particolarmente interessato ai problemi per i quali esiste una soluzione a tempo polinomiale sulla RAM reale. Vedi la mia domanda precedente per una possibilità.

Come suggerisce Robin, le risposte noiose sono noiose. Per qualsiasi classe di complessità X che contiene la somma delle radici quadrate (ad esempio, PSPACE o EXPTIME), ogni problema X-hard è noiosamente somma delle radici quadrate-hard.

— Jeffε
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Grazie a Suresh e Peter per aver suggerito questa domanda.

— Jeffε

Forse potresti anche escludere risposte banali insistendo sul fatto che le risposte non dovrebbero essere solo problemi difficili per una classe che è nota per contenere il problema della somma delle radici quadrate. Ad esempio, qualsiasi problema difficile per PSPACE sarebbe difficile per la somma delle radici quadrate, ma probabilmente non è interessante.

— Robin Kothari,

Intendi davvero

nella dichiarazione del problema dei percorsi più brevi o

? Il primo non sembra che potrebbe usare affatto una RAM intera, e presumibilmente il problema è ancora Σ√-difficile che si limita ai punti interi ...

R^{4}

$\mathbb{R}^4$

Z^{4}

$\mathbb{Z}^4$

— Steven Stadnicki,

@Steven: Sì, hai ragione. Modificato.

— Jeffε

Risposte:

Questo è stato discusso un po 'nel seguente sondaggio (a partire dalla diapositiva 21): http://homepages.inf.ed.ac.uk/kousha/games08_tutorial.pdf

che menziona il TSP euclideo, l'approssimazione del vero equilibrio di Nash e parla delle classi PosSLP e FIXP.

— Noam
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questa è una connessione affascinante.

— Suresh Venkat,

Questo dovrebbe essere un commento, in quanto è una risposta per lo più noiosa, ma non ho abbastanza reputazione.

La somma del problema delle radici quadrate è in da [ABKM98] , quindi qualsiasi problema difficile per questa classe ha la proprietà richiesta. Questo viene fatto riducendo il problema della somma delle radici quadrate a un problema chiamato , definito come decidere se un problema di linea retta rappresenta un numero intero positivo, quindi quel problema è la somma delle radici quadrate difficile. $P^{PP^{PP^{PP}}}$ $PosSLP$

[ABKM98]: Sulla complessità dell'analisi numerica, di Allender, Burgisser, Kjeldgaard-Pedersen e Miltersen.

— Abel Molina
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C'è anche questo miglioramento [ mpi-inf.mpg.de/~csaha/Sum_sqrroot.pdf] che pone il problema in

e dimostra anche che una versione limitata del problema ha bisogno di un numero polinomiale di bit.

{C o R P}^{P P}

${CoRP}^{PP}$

— Elias,

@Elias: puoi elaborare? Da uno sguardo superficiale, Kayal e Saha sembrano discutere della "versione polinomiale" del problema della somma delle radici quadrate, che è correlato ma diverso dalla solita somma del problema delle radici quadrate.

— Tsuyoshi Ito,

@Abel: (1) Ciao Abel, felice di vedere il tuo post! (2) Per quello che vale, [ABKM98] è stato presentato al CCC 2006 e pubblicato nel 2009 . (3) Una risposta noiosa non dovrebbe essere un commento ma dovrebbe essere riservata a te stesso. Ma non penso che questa sia una risposta noiosa. :)

— Tsuyoshi Ito

a_{i}

$a_i$

a_{i} = \sum_{i} b_{i} j X^{d_{i} - j}

$a_i=\sum_i{b_ij}X^{d_i-j}$

X > (B + 1)^{(n d)^{O (1)}}

$X>(B+1)^{(nd)^{O(1)}}$

B = m a x {b_{i j}}

$B=max\{b_{ij}\}$

d = m a x {d_{i}}

$d=max\{d_i\}$

C o R P^{P P}

$CoRP^{PP}$