Quali sono gli ostacoli all'estensione di

Prova di Omer Reingold che fornisce un algoritmo per USTCON (In una U ndirected grafico con vertici speciale e $L=SL$ $s$ , sono essiConCONNECTED?) Utilizzando solo logspace. L'idea di base è quella di costruire un grafico di espansione dal grafico originale e quindi eseguire la camminata nel grafico di espansione. Il grafico dell'espansore viene creato quadrando logaritmicamente il grafico originale molte volte. Nel grafico dell'espansore, il diametro è solo logaritmico, quindi è sufficiente una ricerca DFS della profondità logaritmica. $t$

Estendere il risultato a implicherebbe l'esistenza di un algoritmo di spazio di log per DSTCON - lo stesso, ma per i grafici con irradiazione D. (A volte solo STCON.) La mia domanda, forse leggermente delicata, quali sono gli ostacoli principali all'estensione della prova di Reingold a questo? $L=NL$

Sembra leggermente che ci dovrebbe essere una sorta di grafico "expander diretto". Un tipo simile di costruzione, in cui si aggiungono bordi corrispondenti a percorsi diretti di media lunghezza, e quindi alcuni corrispondenti a percorsi lunghi; e quindi puoi attraversare il grafico con profondità logaritmica spostandoti su percorsi brevi per arrivare a uno lungo; poi torna ai percorsi brevi alla fine.

C'è un grosso difetto in questo concetto? O è che non ci sono buone costruzioni di tali espansori? O in qualche modo richiede più memoria rispetto alla versione non indirizzata?

Sfortunatamente non riesco a trovare molto sui grafici di espansione diretta. In effetti, tutto quello che ho potuto trovare è stato /math/2628930/how-can-one-construct-a-directed-expander-graph-with-varying-degree-distribution (che è senza risposta) e https://repository.upenn.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1202&context=cis_papers . Esiste un termine diverso in cui dovrei cercare?

— Alex Meiburg
fonte

Questo documento fornisce alcune informazioni sull'estensione di

L = S L

$L=SL$

:people.seas.harvard.edu/~salil/research/regular-abs.html

L = R L

$L=RL$

— sdcvvc

Vedi il punto 3. qui . Potresti obiettare che si tratta di una speculazione completa, ma puoi notare che la risposta di Scott ha sostanzialmente lo stesso punto sull'esplorazione casuale dei grafici diretti.

— Thomas Klimpel,

Il problema centrale è che, su grafici diretti, anche una camminata veramente casuale non colpisce tutti i vertici nel tempo polinomiale previsto, per non parlare di una camminata pseudocasuale. Il controesempio standard qui è un grafico diretto con vertici ordinati da sinistra a destra, in cui ogni vertice ha un bordo che conduce al vertice alla sua destra (eccetto il vertice più a destra, ), e ogni vertice ha anche un bordo che conduce tutto il ritorno al vertice più a sinistra, . Per passare da a con una camminata casuale, occorrono circa volte. Quindi, qual è l'algoritmo randomizzato di piccolo spazio per la connettività diretta che speriamo di derandomizzare, analogo a quello che ha fatto Reingold $n$ $t$ $s$ $s$ $t$ $2^n$ ? (Per dirla in altro modo, come possiamo mostrare $USTCON$ , figuriamoci ?) Per la connettività diretta, ovviamente c'è l'algoritmo di Savitch, ma che occupa spazio e per i grafici generali nessuno è riuscito a migliorarlo per mezzo secolo, con o senza l'uso della casualità. $RL=NL$ $L=NL$ $O(\log^2 n)$

— Scott Aaronson
fonte

Il tipo di algoritmo che descriverei sarebbe, approssimativamente - beh, esegui l'operazione "quadrato e zig-zag" di Reingold alcune volte per iniziare. Suppongo che la modifica sarebbe che invece del quadrato contenente solo i percorsi di lunghezza 2 nel grafico originale, include i percorsi di lunghezza 1 e 2. Prova tutte le sequenze logaritmicamente profonde, come la sua. Se numeriamo i vertici del tuo grafico come 1, 2, .. n, allora il primo grafico 'quadrato' collega 1 a 2 e 3, il successivo 'quadrato' lo collega a 2345, ecc. I passi a zig-zag mantengono i gradi Basso. Ovviamente rozzo, ma non vedo perché fallisca.

— Alex Meiburg,

Per la connettività diretta, esiste un algoritmo a tempo polinomiale che utilizza "solo"

\frac{n}{2^{Θ (\sqrt{\log n})}}

$\frac{n}{2^{\Theta(\sqrt{\log n})}}$

\frac{n}{2^{Θ (\sqrt{\log n})}}

$\frac{n}{2^{\Theta(\sqrt{\log n})}}$

\log n

$\log n$