Ci sono stati progressi nel rafforzare l'esponente nel risultato che l'indipendenza dal ingannare ?

Braverman ha mostrato che le distribuzioni che sono -come indipendenti -fool depth circuiti di dimensione "incollando" lo Smolensky approssimazione e approssimazione di Fourier delle funzioni booleane calcolabili con . L'autore e coloro che avevano congetturato questa congettura originaria secondo cui l'esponente lì può essere ridotto a $(log \frac{m}{\epsilon})^{O(d^2)}$ $\epsilon$ $d$ $AC^0$ $m$ $AC^0$ $O(d)$ e sono curioso di sapere se sono stati compiuti progressi in questo senso, poiché immagino che ciò implicherebbe la produzione di un polinomio che è vicino nella distanza di correlazione e che sia effettivamente d'accordo con la funzione su un gran numero di input, e penso che sarebbe essere un'approssimazione molto interessante da trovare senza incollare questi due insieme. C'è qualche motivo per aspettarsi che una simile approssimazione debba avere un grado che non era noto quando Braverman scrisse il suo articolo nel 2010? $O(d^2)$

Un'altra domanda su questo documento che ho è che la congettura originale assomiglia alla sensibilità di Boppana legata alla sensibilità, sebbene fosse in un documento scritto prima di questo limite. Questo, ovviamente, non è una coincidenza, poiché questo limite corrisponderebbe alla concentrazione di Fourier che puoi derivare dal limite di Boppana se il polinomio di Fourier funzionasse, ma c'è qualche migliore intuizione che conosci di quella "se il polinomio di Fourier funzionasse , questo è quello che otterresti "uno?

boolean-functions fourier-analysis

— Samuel Schlesinger
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Nel suo articolo del CCC'17 [1], Avishay Tal ha migliorato il limite a Potresti voler controllare p.15: 4 per una discussione. Si riferisce anche a (vedi la nota 30 di un documento di Harsha e Srinivasan , che migliora di (1)) e risponde alla congettura di Tal: -wise indipendente, per sufficiente per -fool size- depth- AC0 circuiti.

\begin{matrix} (1) & {(\log \frac{m}{ε})}^{O (d)} . \end{matrix}

$\left(\log\frac{m}{\varepsilon}\right)^{O(d)}\,. \tag{1}$

k

$k$

\begin{matrix} (2) & K = {(\log m)}^{O (d)} \cdot \log \frac{1}{ε} . \end{matrix}

$k = \left(\log m \right)^{O(d)}\cdot\log\frac{1}{\varepsilon}\,. \tag{2}$

ε

$\varepsilon$

m

$m$

d

$d$

[1] Stretti limiti sullo spettro di Fourier di $\mathsf{AC}_0$ , A. Tal. CCC'17.

[2] Su approssimazioni polinomiali di $\mathsf{AC}_0$ , P. Harsha e S. Srinivasan. RANDOM 2016,

— Clemente C.
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@SamuelSchlesinger Prego!

— Clemente C.