Qual è l'ampiezza del percorso della griglia 3D (mesh o reticolo) con sidelength k?

Ho fatto questa domanda alcune settimane fa su mathoverflow , ma non ho ricevuto risposta.

Qui, per griglia 3D di sidelength intendo il grafico con ed $k$ $G=(V,E)$ $V= \{1,\ldots,k\}^3$ , cioè i nodi sono posizionati su coordinate intere tridimensionali tra 1 e e un nodo è collegato al massimo ad altri 6 nodi che differiscono precisamente in una coordinata per una. $E=\{( (a,b,c) ,(x,y,z) ) \mid |a-x|+|b-y|+|c-z|=1 \}$ $k$

Qual è il nome di questo grafico? Userò la griglia 3D, ma forse la mesh 3D o il reticolo 3D sono ciò a cui sono abituate le altre persone.

Qual è la larghezza o la larghezza dell'albero di questo grafico? È già stato pubblicato da qualche parte?

So già che , cioè è molto minore di . A mio avviso , ciò suggerisce che gli argomenti standard che dimostrano che la griglia 2D ha una larghezza di albero e una larghezza di percorso non si generalizzano facilmente. $tw(G) = (3/4) k^2 + O(k)$ $k^2$ $k\times k$ $k$

Per vedere questo, consideriamo una decomposizione del percorso che "spazza" la griglia usando principalmente insiemi di nodi della forma . Osservare , è il più grande tale insieme. Gli insiemi tra e $S_c= \{(x,y,z)\mid x+y+z = c\}$ $|S_c| \leq (3/4) k^2 + O(k)$ $S_{3/2 k}$ $S_c$ sono creati spazzando con una linea e hanno bisogno di nodi aggiuntivi per essere separatori. Più precisamente, usa i set $S_{c+1}$ $O(k)$ $S_{c,d} = \{(x,y,z)\mid (x+y+z = c \wedge x \leq d ) \vee (x+y+z = c \wedge x \geq d ) \}$ come una decomposizione percorso di . $G$

Ho anche un'idea per una dimostrazione che mostra , ma questo non è ancora finito. $tw(G) = \Omega(k^2)$

— Riko Jacob
fonte

per

. Mi sto perdendo qualcosa?

| S_{c} | = Ω (k^{2})

$|S_c| = \Omega(k^2)$

c = ⌊ k / 2 ⌋

$c=\lfloor k/2 \rfloor$

— Sariel Har-Peled,

Sicuro. Ma

è usato solo nel limite superiore. Quello a cui tengo davvero è un limite inferiore.

S_{c}

$S_c$

— Riko Jacob

Potresti essere interessato a questo documento: springerlink.com/content/3nmjlc1g5emx9vpk . Se è possibile calcolare il "numero di coda" del grafico, poi ti verrà dato un limite inferiore per il suo percorso di larghezza usando il Teorema 1 in cui si afferma che

per ogni grafo

q n (G) \leq p w (G)

$\mathsf{qn}(G) \leq \mathsf{pw}(G)$

G

$G$

— Mathieu Chapelle,

Oh. Vedo. Si intende

(3 / 4) k^{2}

$(3/4)k^2$

— Sariel Har-Peled,

@Sariel: ho modificato la domanda per evitare la stessa confusione.

— Tsuyoshi Ito,

Risposte:

La larghezza del percorso di può essere determinata come corollario di alcuni risultati noti. FitzGerald [2] ha mostrato che la larghezza di banda di è $P^3_k$ $P^3_k$ $\lfloor \frac{3}{4} k^{2} + \frac{1}{2} k \rfloor$ $P^3_k$ $\lfloor \frac{3}{4} k^{2} + \frac{1}{2}k \rfloor$

$P^3_k$

Cordiali saluti: Ho appena presentato una versione inglese del nostro documento ad arXiv.

B. Bollobás e I. Leader, compressioni e disuguaglianze isoperimetriche, J. Combin. Teoria Ser. A 56 (1991) 47-62.
CH FitzGerald, indicizzazione ottimale dei vertici dei grafici, matematica. Comp. 28 (1974), 825-831.
LH Harper, Numerazioni ottimali e problemi isoperimetrici sui grafici, J. Combin. Teoria 1 (1966) 385-393.
$n$
$n$

— Yota Otachi
fonte

Grazie per aver gentilmente condiviso il tuo nuovo risultato (e la carta!) Inoltre, benvenuto in TCS SE :)

— Hsien-Chih Chang 張顯之

@Hsien-Chih: mi hai fatto decidere di condividere il nostro risultato :-) Grazie. In effetti, sono anche nuovo per arXiv.

— Yota Otachi,

La larghezza delle griglie 3D è stata studiata da Ryohei Suda, Yota Otachi e Koichi Yamazaki nel documento Pathwidth delle griglie tridimensionali , IEICE Tech. Rapporto, 2009.

Si afferma nel riassunto del documento che

In questo documento, diamo la larghezza del percorso delle griglie tridimensionali in forma chiusa, determinando la larghezza del contorno del vertice.

Tuttavia, il limite preciso non è indicato in astratto e al momento non riesco ad accedere al documento completo. Forse puoi contattare gli autori privatamente e pubblicare una risposta a questa domanda da solo, se gli autori sono disposti a condividere il risultato.

— Hsien-Chih Chang 張顯之
fonte

Si noti che il documento è scritto in giapponese.

— Tsuyoshi Ito,

@Tsuyoshi: Sì, potremmo aver bisogno del tuo aiuto :)

— Hsien-Chih Chang 張顯之

P_{ℓ} \times P_{m} \times P_{n}

$P_{\ell}\times P_{m}\times P_{n}$

ℓ m

$\ell m$

ℓ + m \leq n + 2

$\ell + m \leq n + 2$

ℓ m - ⌈ (\frac{ℓ + m - n - 1}{2})^{2} ⌉

$\ell m - \lceil (\frac{\ell+m-n-1}{2})^2 \rceil$

P_{k}

$P_k$

k

$k$

ℓ \leq m \leq n

$\ell \leq m \leq n$

p w (P_{k}^{3}) = \frac{3}{4} k^{2} + O (k)

$\mathsf{pw}(P^3_k) = \frac{3}{4}k^2 + O(k)$

Grazie. Sembra che non mi debba sentire male per non aver trovato quel riferimento da solo. Sono curioso per i dettagli.

— Riko Jacob