Generalizzazione dell'affermazione che un monoide riconosce la lingua se il monoide sintattico divide il monoide

Sia un alfabeto finito. Per un dato linguaggio il monoide sintattico è una nozione ben nota nella teoria del linguaggio formale. Inoltre, un monoide riconosce una lingua se esiste un morfismo tale che .L ⊆ A ∗ M ( L ) M L φ : A ∗ → M L = φ - 1 ( φ ( L ) ) $A$$L \subseteq A^{\ast}$ $M(L)$$M$$L$$\varphi : A^{\ast} \to M$$L = \varphi^{-1}(\varphi(L)))$

Quindi abbiamo il bel risultato:

Un monoide riconosce se è un'immagine omomorfa di un sottomonoide di (scritto come ).L ⊆ A ∗ M ( L ) M M ( L ) ≺ $M$$L \subseteq A^{\ast}$$M(L)$$M$$M(L) \prec M$

Quanto sopra è di solito indicato nel contesto delle lingue normali, e quindi i monoidi sopra sono tutti finiti.

Supponiamo ora di sostituire con un monoide arbitrario e diciamo che un sottoinsieme è riconosciuto da se esiste un morfismo tale che . Quindi abbiamo ancora che se riconosce , allora (vedi S. Eilenberg, Automata, Machines and Languages, Volume B), ma vale il contrario? N L ⊆ N M φ : N → M L = φ - 1 ( φ ( L ) ) M L M ( L ) ≺ $A^{\ast}$$N$$L \subseteq N$$M$$\varphi : N \to M$$L = \varphi^{-1}(\varphi(L))$$M$$L$$M(L) \prec M$

Nella dimostrazione per il contrario è dimostrato sfruttando la proprietà che se per un po 'di morfismo e è anche un morfismo, quindi possiamo trovare tale che vale , semplicemente scegliendo alcuni per ogni ed estendentesi ad un morfismo da a . Ma questo non funziona per i monoidi arbitrari quindi mi aspetto che il contrario sia falso allora. E se è falso, per quale tipo di monoide accanto a N = φ ( M ) φ : M → N ψ : A ∗ → N ρ : A ∗ → M φ ( ρ ( u ) ) = ψ ( u ) ρ ( x ) ∈ φ - 1 ( ψ ( x ) ) x ∈ A A ∗ M N A $A^{\ast}$$N = \varphi(M)$$\varphi : M \to N$$\psi : A^{\ast} \to N$$\rho : A^{\ast} \to M$$\varphi(\rho(u)) = \psi(u)$$\rho(x) \in \varphi^{-1}(\psi(x))$$x \in A$$A^{\ast}$$M$$N$$A^{\ast}$ è ancora vero, e quei monoidi hanno ricevuto qualche attenzione nella letteratura di ricerca?

Sì, questi monoidi hanno ricevuto attenzione nella letteratura di ricerca e in realtà portano a domande difficili.

Definizione . Un monoide è chiamato proiettivo se vale la seguente proprietà: se f : N → R è un morfismo monoide e h : T → R è un morfismo suriettivo, allora esiste un morfismo g : N → T tale che f = h ∘ g .$N$$f:N \to R$$h:T \to R$$g:N \to T$$f = h \circ g$

Puoi trovare una lunga discussione sui monoidi proiettivi in ​​[1], subito dopo la definizione 4.1.33. È dimostrato in particolare che ogni semigruppo proiettivo finito è una banda (un semigruppo in cui ogni elemento è idempotente). Ma il contrario non è vero ed è in realtà un problema aperto decidere se un semigruppo finito è proiettivo.

[1] J. Rhodes e B. Steinberg, La teoria dei semigruppi finiti$q$ . Monografie Springer in matematica. Springer, New York, 2009. xxii + 666 pp. ISBN: 978-0-387-09780-0