Tecniche di prova per dimostrare che il controllo del tipo dipendente è decidibile

Sono in una situazione in cui devo dimostrare che il controllo del tipo è decidibile per un calcolo tipicamente dipendente sul quale sto lavorando. Finora sono stato in grado di dimostrare che il sistema si sta fortemente normalizzando, e quindi che l'uguaglianza di definizione è decidibile.

In molti riferimenti che ho letto, la decidibilità del controllo tipografico è elencata come un corollario di forte normalizzazione, e ci credo in quei casi, ma mi chiedo come si possa effettivamente mostrare questo.

In particolare, sono bloccato su quanto segue:

• Solo perché termini ben digitati si stanno fortemente normalizzando, ciò non significa che l'algoritmo non eseguirà il loop per sempre su input non ben digitati
• Dal momento che le relazioni logiche vengono generalmente utilizzate per mostrare una forte normalizzazione, non c'è una metrica decrescente conveniente mentre progrediamo nei termini di controllo dei caratteri. Quindi, anche se le mie regole di tipo sono dirette dalla sintassi, non vi è alcuna garanzia che l'applicazione delle regole finirà per terminare.

Mi chiedo, qualcuno ha un buon riferimento a una prova della decidibilità del controllo dei caratteri per un linguaggio tipicamente dipendente? Se è un piccolo calcolo di base, va bene. Tutto ciò che discute delle tecniche di prova per mostrare la decidibilità sarebbe fantastico.

C'è davvero una sottigliezza qui, anche se le cose funzionano bene nel caso del controllo del tipo. Scriverò qui il problema, poiché sembra emergere in molti thread correlati, e cercherò di spiegare perché le cose vanno bene quando si verifica il tipo in una teoria del tipo dipendente "standard" (sarò deliberatamente vago, poiché questi problemi tendono a insorgere indipendentemente):

${\cal D}$$\Gamma\vdash t:A$${\cal D}'$$\Gamma \vdash A:s$$s$$u\leq t$$B$$\Delta$$\cal D''$$\Delta\vdash u:B$

Questo bel fatto è in qualche modo difficile da dimostrare, e compensato da un contro-fatto piuttosto brutto:

Fatto 2: In generale, e non sono derivazioni secondarie di !$\cal D'$$\cal D''$ $\cal D$

Ciò dipende in parte dalla formulazione precisa del sistema di tipi, ma la maggior parte dei sistemi "operativi" implementati nella pratica soddisfano il Fatto 2.

Ciò significa che non è possibile "passare a sotto-termini" quando si ragiona per induzione su derivazioni, o concludere che l'affermazione induttiva è vera sul tipo di termine di cui si sta provando a dimostrare qualcosa.

Questo fatto ti morde piuttosto duramente quando cerchi di dimostrare dichiarazioni apparentemente innocenti, ad esempio che i sistemi con conversione tipizzata sono equivalenti a quelli con conversione non tipizzata.

Tuttavia , nel caso dell'inferenza di tipo, è possibile fornire un algoritmo di inferenza di tipo e ordinamento simultaneo (il tipo di tipo) mediante induzione sulla struttura del termine, che può comportare un algoritmo orientato al tipo come suggerisce Andrej. Per un dato termine (e contesto , o fallisci o trovi tale che e . Non è necessario utilizzare l'ipotesi induttiva per trovare quest'ultimo derivazione, e quindi in particolare si evita il problema spiegato sopra.$t$$\Gamma$$A, s$$\Gamma\vdash t:A$$\Gamma\vdash A : s$

Il caso cruciale (e l'unico caso che richiede davvero la conversione) è l'applicazione:

infer(t u):
   type_t, sort_t <- infer(t)
   type_t' <- normalize(type_t)
   type_u, sort_u <- infer(u)
   type_u' <- normalize(type_u)
   if (type_t' = Pi(A, B) and type_u' = A' and alpha_equal(A, A') then
      return B, sort_t (or the appropriate sort)
   else fail

Ogni chiamata alla normalizzazione è stata fatta a parole ben scritte, poiché questo è l'invariante inferdel successo.

A proposito, mentre è implementato, Coq non ha un controllo del tipo decidibile, poiché normalizza il corpo delle fixistruzioni prima di provare a controllarle.

Ad ogni modo, i limiti delle forme normali di termini ben scritti sono così astronomici, che il teorema di decidibilità è comunque prevalentemente accademico a questo punto. In pratica, esegui l'algoritmo di controllo del tipo per tutto il tempo in cui hai pazienza e provi un percorso diverso se non è ancora finito.