Numero di 4 cicli

Sia $C_4$ un ciclo con quattro vertici. Per un grafico arbitrario $G$ con $n$ vertici e bordi di m, dire $m>n\sqrt n$ , quanti$C_4$esistono? C'è un limite inferiore per questo?

Sì, questo è noto. Per $d = \Omega(n^{1/2})$ con una sufficientemente grande costante implicita, ogni $n$ grafico -node di grado medio $d$ ha $\Omega(d^4)$ totale $C_4$ s. Questo è il migliore possibile perché è realizzato da un grafico casuale.

Il primo riferimento di cui sono a conoscenza per questo è "Cube-Supersaturated Graphs and Related Problems" di Erdos e Simonovits, dove viene rivendicato senza prove. Ci sono molte prove là fuori, dalla cima della mia testa vedi Lemma 3 qui .