P e complessità descrittiva

Nel Complexity Zoo, si dice [ 1 ] che, nella complessità descrittiva, può essere definito da tre diversi tipi di formule, che è anche , e anche come . $P$ $FO(LFP)$ $FO(n^{O(1)})$ $SO(HORN)$

Tuttavia, ci sono alcune eccezioni, ad esempio, non può essere espressa da FP (FP ha la stessa potenza espressiva con LFP). e non sono definibili dalla logica del primo ordine. Alcuni problemi non possono nemmeno essere assiomatizzati con un numero finito di variabili come , , . $Evenness$ $Connectivity$ $2-colourability$ $Evenness$ $Perfect~Matching$ $Hamiltonicity$

Immerman ha proposto che Fixed Point Logic + Counting (FPC) possa essere una possibile logica per l'acquisizione di P.

Tuttavia, Cai Furer, Immerman ha dimostrato che esistono proprietà del grafico a tempo polinomiale che non sono espressibili in FPC [ 2 ]. Il problema di risolvere equazioni lineari sul campo dei due elementi non è definibile nella logica infinita con il conteggio [ 3 ]. È possibile fare riferimento a [ 4 ] per maggiori dettagli.

Quindi, quale struttura logica può catturare P in generale? La risposta positiva è che una classe di strutture finite ordinate è definibile nella logica a virgola fissa se, e solo se, è decidibile in P da Immerman [ 5 ] e Vardi [ 6 ]. Che ne dici del caso non ordinato? Puoi mostrare più controesempi dell'affermazione nello zoo della complessità?

lo.logic polynomial-time descriptive-complexity

— Rupei Xu
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Ecco un tutorial che offre una panoramica dei risultati su questa particolare domanda: cl.cam.ac.uk/~ad260/talks/wollic-tutorial.pdf

— Denis

@Denis Grazie Denis! Questo tutorial contiene più strutture logiche per P. Tradizionalmente quando parliamo di un problema è tempo polinomiale risolvibile, pensiamo che sia "facile". Tuttavia, le strutture logiche di P sembrano così complicate e ci sono ancora molti casi sconosciuti e problemi aperti.

— Rupei Xu,

Sì, sembrerebbe che l'insieme dei problemi "facili" (cioè P) non sia così ben strutturato, ed è difficile caratterizzarlo con qualcosa del tipo "i problemi facili sono quelli che possono essere ottenuti dai problemi di base A, B, C, combinato in modo X, Y ". Ci sono sempre problemi più facili che sono di un altro tipo e richiedono algoritmi polinomiali intelligenti con nuove idee.

— Denis

Martin Grohe ha recentemente compiuto notevoli progressi su questa questione. Fornisce una logica che cattura il tempo polinomiale su classi di grafici incorporabili in una superficie fissa: https://dl.acm.org/citation.cfm?doid=2371656.2371662 Modifica: il caso generale sembra essere irrisolto (ma non lo sono affatto un esperto su questo).

— Hermann Gruber
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Sì. Ci sono molti risultati di meta-teoremi algoritmici (come il famoso teorema di Courcelle) in grado di catturare i casi semplici, il seguente link è un buon documento di indagine. people.cs.umass.edu/~immerman/pub/… Tuttavia, questi risultati hanno anche la restrizione per le strutture grafiche su cui viene eseguito il problema, come ad esempio albero, larghezza dell'albero limitata, grafici planari, grafici chiusi piccoli ecc. Ci sono nessuna struttura logica completa può catturare P in grafici generali senza ordine finora.

— Rupei Xu,

Immagino che il lavoro di Grohe sia piuttosto speciale perché in quel caso la logica esaurisce tutta P su una classe di grafici notevolmente grande, cioè non ci sono controesempi. Se ho capito bene, essere esaustivi è la parte difficile. I risultati MSO di cui parli non sembrano avere questa funzionalità. Ma la mia esperienza al riguardo è molto limitata, potrei sbagliarmi qui.

— Hermann Gruber,