Qual è l'istanza più difficile per il problema dell'isomorfismo di gruppo?

Si dice che due gruppi $(G,\cdot)$ e $(H, \times)$ siano isomorfi se esiste un omomorfismo da $G$ a $H$ che è biiettivo. Il problema dell'isomorfismo di gruppo è il seguente: dati due gruppi, verificare se sono isomorfi o meno. Esistono diversi modi per inserire un gruppo, i due più utilizzati sono una tabella Cayley e un gruppo elettrogeno. Qui presumo che i gruppi di input siano dati dalla loro tabella Cayley. Più formalmente:

$\textbf{Group Isomorphism Problem}$

$\textbf{Input : }$ due gruppi $(G,\cdot)$ e $(H,\times)$ .

$\textbf{Decide : }$ è $G \cong H$ ?

Supponiamo che $n = |G| = |H|$

Il problema dell'isomorfismo di gruppo quando i gruppi di input sono dati dalla tabella di Cayley non è noto per essere in $\textbf{P}$ in generale. Sebbene ci siano classi di gruppo come la classe di gruppo abeliana per cui è noto il problema in tempi polinomiali, gruppi che sono l'estensione di un gruppo abeliano, gruppi semplici ecc. Anche per i gruppi nilpotenti di classe due, nessun algoritmo migliore della forza bruta è conosciuto.

Un algoritmo a forza bruta per l'isomorfismo di gruppo è dato da Tarjan, che è il seguente. Lasciate $G$ e $H$ sono due gruppi di ingressi, e lasciare che $S$ sia un gruppo elettrogeno del gruppo $G$ . È risaputo che ogni gruppo finito ammette un gruppo elettrogeno di dimensione $\mathcal{O}(\log n)$ e che può essere trovato in tempo polinomiale. Il numero di immagini del gruppo elettrogeno $S$ nel omomorfismo da $G$ a $H$ è $n^{\log n}$ molti. Ora, controlla se ogni possibile omomorfismo è biettivo o no. Il tempo di esecuzione complessivo sarà $n^{\log n + \mathcal{O}(1)}$ .

Vorrei prima definire il centro del gruppo $G$ :

Z (G) = {g \in G ∣ a g = g a, \forall a \in G}

$Z(G) = \{g \in G \mid ag=ga, \forall a \in G\}$

$Z(G)$ indica gli elementi del gruppo $G$ che commuta con tutti gli altri elementi del gruppo $G$ . I gruppi per i quali $G/Z(G)$ (/ usato per quoziente) è abeliano sono noti come gruppi nilpotenti di classe due. A me sembra che i nilpotenti gruppi di due classi siano i casi più difficili per risolvere il problema dell'isomorfismo di gruppo. Il significato di "casi più difficili" è: risolvere quel caso consentirà ai ricercatori che lavorano nella teoria dei gruppi di risolvere il problema dell'isomorfismo di un gran numero di gruppi.

Inizialmente, ho pensato che i gruppi semplici sono i casi più difficili in quanto sono gli elementi di tutti i gruppi, ma in seguito è venuto a sapere che il problema isomorfismo per gruppi semplici è in $\textbf{P}$ .

Domanda : Qual è l'istanza più difficile per il problema dell'isomorfismo di gruppo?

ds.algorithms gr.group-theory

— aaaa
fonte

Ciao, potresti considerare di espandere un po 'la tua domanda per ricapitolare la definizione del problema di isomorfismo di gruppo (qual è l'input, qual è l'output) e / o un riferimento? Potresti anche considerare di ricapitolare la definizione del centro di un gruppo? Infine, potresti chiarire se "consentire come risolvere" ("noi"?) È un'affermazione sull'esistenza di una riduzione?

— a3nm

$p$ $p$ $p > 2$ $p=2$

0) Esperienza pratica (vedi articoli di Newman, Eick, O'Brien, Holt, Cannon, Wilson, ... che forniscono gli algoritmi implementati in GAP e MAGMA).

$p$ $\mathbb{F}_p$ $\mathsf{TI}$ $p$ $p$ $c < p$ $p$ $p$

$p$ $Rad(G)$ $G/Rad(G)$ $Rad(G)$ $n^{O(\log \log n)}$ $n^{\log n}$ $p$ $p$

$n$ $\leq n^{(\frac{2}{27} + o(1))\mu(n)^2}$ $\mu(n)$ $n$ $p$ $n=p^m$ $p^{(\frac{2}{27} + o(1))m^2}$ $p$ $p$ $\leq n$ $p$ $n \to \infty$

$p$ $p$

$p$ $p$ $p$ $p$ $p$ $c < p$

— Joshua Grochow
fonte

p

$p$

Sì, classe nilpotency.

— Joshua Grochow,

Grazie per il chiarimento!

— Vincent,