È possibile campionare in modo efficiente un vicino di un vertice nel grafico di un politopo?

Ho un polytope definito da .$P$$\{ x : Ax \leq b, x \geq 0\}$

Domanda: Dato un vertice di , esiste un algoritmo temporale polinomiale per campionare uniformemente dai vicini di nel grafico di ? (Polinomio nella dimensione, numero di equazioni e rappresentazione di . Posso presumere che il numero di equazioni sia polinomiale nella dimensione.)$v$$P$$v$$P$$b$

Aggiornamento: penso di essere stato in grado di dimostrare che questo è NP-difficile, vedi la mia risposta che spiega l'argomento. (E per -hard, intendo che un algoritmo temporale polinomiale dimostrerebbe ... non sono sicuro di quale sia la terminologia corretta qui.)$NP$$RP = NP$

Aggiornamento 2: Esiste una prova a 2 righe di -hardness (dato il giusto politopope combinatorio) e sono stato in grado di trovarlo un articolo di Khachiyan. Vedi la risposta per la descrizione e il collegamento. :-D$NP$

Un problema equivalente :

Nei commenti Peter Shor ha sottolineato che questa domanda equivale alla domanda se possiamo campionare uniformemente dai vertici di un dato politopo. (Penso che l'equivalenza vada in questo modo: in una direzione, possiamo passare da un politopo con un vertice alla figura del vertice in , , e campionare i vertici di equivale a campionare i vicini di su Nell'altra direzione, possiamo passare da un politopo ad un politopo Q di una dimensione superiore aggiungendo un cono con apice v e base P. Quindi campionando i vicini di$P$$v$$v$$P/v$$P/v$$v$$P$$P$$Q$$v$$P$$v$ in$Q$ è equivalente al campionamento dei vertici di$P$ )

Questa formulazione della domanda è stata posta prima: /mathpro/319930/sampling-uniformly-from-the-vertices-of-a-polytope

Modifica 2: In modo imbarazzante, c'è una prova a due righe della $NP$ -hardness, se si inizia con il politipo giusto.

Innanzitutto, ricordare il politopo di circolazione di un grafico nella parte inferiore della pagina 4 di Generazione di tutti i vertici di un poliedro è difficile .

I suoi vertici sono in corrispondenza biiettiva con i cicli semplici diretti. Pertanto, sono difficili da campionare o contare dalla Proposta JVV 5.1 . :-D

Dotato di queste parole chiave, sono stato in grado di trovare la durezza del risultato del campionamento come teorema 1 degli Ipergrafi trasversali e Famiglie di coni poliedrici di Khachiyan.

Modifica: ho scritto l'argomento seguente e sembra corretto. Tuttavia, c'è un argomento molto più semplice, che tratterò qui:

a) Analizzando gli algoritmi di backtrack per elencare tutti i vertici e tutte le facce di un poliedro convesso (Fukuda et al.) è fortemente NP-difficile risolvere il seguente problema sui polipropi:

Input: A polytope $Ax = b , x \geq 0$ in $\mathbb{R}^n$ a sottoinsieme $S \subseteq n$

Resa: Se v'è un vertice $v$ di $P$ che è diverso da zero in ciascuna delle coordinate in $S$ .

b) Detto questo, si può fare la seguente costruzione: introdurre nuove variabili $y_{ik}$ per $i \in S$ e $k = 1, \ldots, d$ e introdurre la disuguaglianza $0 \leq y_{ik} \leq x_i$ . Chiama il polytope risultante $P_{S,d}$ . Il punto di questa costruzione è introdurre un ipercubo sopra ogni vertice, di dimensione $d |supp(x) \cap S|$.

c) Si può verificare che tutti i vertici di questo politopo si trovino tutti sopra i vertici del vecchio politopo e che il numero di vertici su un vertice sia $2^{d | supp(x) \cap S|}$, dove $supp$ è la funzione che invia un vertice alle coordinate in cui è diverso da zero.

d) Da una normale catena di argomenti di tipo bigoni ne consegue che prendendo $d$ sufficientemente grande, un campione uniforme dai vertici di $P_{S,d}$ darebbe (con alta probabilità) un campione dai vertici massimizzando la dimensione della loro intersezione con $S$ .

Sembra che ci siano varie estensioni di questo. Al termine della scrittura aggiornerò con un link.

(Il vecchio argomento era qui: è nella cronologia delle modifiche. L'ho rimosso perché è molto lungo e interferirà nel trovare la risposta corretta alla domanda.)