La funzione di conteggio primo # P è completa?

Richiama il numero di numeri primi è la funzione di conteggio dei primi . Con "PRIMES in P", computing è in #P. Il problema # P è completo? O, forse, c'è una ragione di complessità per credere che questo problema non sia # P-completo? $\pi(n)$ $\le n$ $\pi(n)$

PS Mi rendo conto che è un po 'ingenuo dal momento che qualcuno deve aver studiato il problema e dimostrato / smentito / congetturato, ma non riesco a trovare la risposta in letteratura. Vedi qui se sei curioso di sapere perché mi interessa.

— Igor Pak
fonte

@MohsenGhorbani: No, non gli "stessi" problemi. Nemmeno simile.

— Igor Pak,

Non prove contro, solo curioso: conosciamo una singola funzione che è # P-complete che tratta davvero n come un numero? Cioè, possiamo sempre guardare la rappresentazione binaria di n e trattare quella stringa binaria come una formula o un grafico SAT, ma voglio evitarlo.

f (n)

$f(n)$

— Joshua Grochow

@JoshuaGrochow I problemi "naturali" (non NT) che conosco con un parametro sono tutti in # EXP-c. Un esempio di tale problema: numero di piastrellamenti di quadrato con un insieme fisso di piastrelle (cioè le piastrelle non sono in ingresso). THM: esiste st questo problema è # EXP-c.

n \times n

$n \times n$

T

$T$

T

$T$

— Igor Pak

@Joshua Questo è abbastanza correlato alla completezza NP di , per la quale, a quanto pare, non abbiamo ancora una risposta definitiva: cstheory.stackexchange.com/questions/14124/…

f (n)

$f(n)$

— domotorp

Si noti che , quindi era in #P da Miller – Rabin.

# P^{B P P} = # P

$\mathrm{\#P^{BPP}=\#P}$

π

$\pi$

— Emil Jeřábek sostiene Monica

Alcune prove euristiche: al meglio delle nostre conoscenze sembra una semplice funzione corretta da fluttuazioni casuali. Quindi mi aspetto che una macchina poli-tempo con un oracolo non sia più forte di una macchina simile con un oracolo casuale, e scrivo un oracolo casuale aggiungendo un oracolo casuale separato a dà con probabilità 1 (qui corrisponde a e è un oracolo casuale indipendente). $\pi(n)$ $\pi(n)$ $X$ $Y$ $\mathsf{P}$ $\#\mathsf{P}^X \not\subset \mathsf{P}^{XY}$ $Y$ $\pi(n)$ $X$

— Geoffrey Irving
fonte

Trovo che l'ultima frase sia fuorviante. Sebbene effettivamente , ciò di cui abbiamo effettivamente bisogno qui è , e non sappiamo se questo è vero. In realtà, questo equivale a .

\underset{X}{Pr} [{P P}^{X} \neq P^{X}] = 1

$\Pr_X[\mathrm{PP}^X\ne\mathrm{P}^X]=1$

\underset{X}{Pr} [P P ⊈ P^{X}] = 1

$\Pr_X[\mathrm{PP}\nsubseteq\mathrm{P}^X]=1$

P P \neq B P P

$\mathrm{PP\ne BPP}$

— Emil Jeřábek sostiene Monica

@ EmilJeřábek: Certo, ma in termini di prove che non è # P-completo, se si potesse dimostrare formalmente che se è # P-completo allora PP = BPP, lo prenderei come prova abbastanza forte contro # P-completezza ...

π (n)

$\pi(n)$

— Joshua Grochow

@JoshuaGrochow Sono d'accordo con quello. Non penso che il risultato su con l'oracolo casuale sia rilevante.

P^{X} \neq {P P}^{X}

$\mathrm P^X\ne\mathrm{PP}^X$

— Emil Jeřábek sostiene Monica

@EmilJeřábek: Sì, è un buon punto. Prima di modificare, accetteresti come prova il fatto che dato due oracoli casuali, che penso che conosciamo?

P^{X Y} \neq # P^{X}

$P^{XY} \ne \#P^X$

— Geoffrey Irving

Lo sappiamo?

— Emil Jeřábek sostiene Monica